×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
L'Hospitalovo pravilo     DERIVACIJE I PRIMJENE     Lokalni ekstremi parametarski zadane


Lokalni ekstremi

Odredite lokalne ekstreme funkcije $ f$ zadane s:

a)
$ \displaystyle f(x)=\frac{\ln x}{x}\, e^{-\ln^2x}$ ,
b)
$ \displaystyle f(x)=x^{\frac{2}{3}}\left(1-x\right)^{\frac{2}{3}}$ .

Rješenje.

a)
Izračunajmo prvu derivaciju funkcije $ f$ . Vrijedi

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}\cdot e^{-\ln^2x}+ \frac{\ln x}{x}\cdot e^{-\ln^2x}\cdot \left(-2\ln x\right)\cdot \frac{1}{x}$    
  $\displaystyle =\frac{1-\ln x}{x^2}\cdot e^{-\ln^2x}-2\,\frac{\ln^2x}{x^2}\cdot e^{-\ln^2x}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{x^2}\cdot e^{-\ln^2x}\cdot \left(1-\ln x-2\ln^2x\right).$    

Prema [*] [M1, teorem 5.12], nužan uvjet za postojanje ekstrema u točki $ x_0$ je $ f'(x_0)=0$ . Budući je za svako $ x>0$

$\displaystyle \frac{1}{x^2}\cdot e^{-\ln^2x}>0,$

jednadžba $ f'(x)=0$ se svodi na

$\displaystyle 1-\ln x-2\ln^2x=0.$    

Uvrštavanjem $ t=\ln x$ dobivamo kvadratnu jednadžbu

$\displaystyle 1-t-2t^2=0,$

čija su rješenja $ t_1=-1$ i $ t_2=\frac{1}{2}$ . Stoga za rješenja polazne jednadžbe $ x_1$ i $ x_2$ vrijedi

$\displaystyle \ln x_1=-1 \quad\textrm{ i }\quad \ln x_2=\frac{1}{2},$    

pa su

$\displaystyle x_1=\frac{1}{e}\quad\textrm{ i }\quad x_2=\sqrt e.$    

Dovoljne uvjete za postojanje ekstrema u dobivenim stacionarnim točkama $ x_1$ i $ x_2$ funkcije $ f$ provjerimo korištenjem [*] [M1, teorem 5.14]. Područje definicije funkcije $ f$ je $ D(f)=\langle 0,+\infty\rangle$ . Odredimo za koje $ x\in D(f)$ je $ f'(x)>0$ , odnosno

$\displaystyle 1-\ln x-2\ln^2x>0.$

Uvrštavanjem $ t=\ln x$ dobivamo kvadratnu nejednadžbu

$\displaystyle 1-t-2t^2>0,$

čije rješenje glasi $ t\in\langle-1,\frac{1}{2}\rangle$ , odakle je $ \ln x\in\langle-1,\frac{1}{2}\rangle$ , odnosno $ x\in\langle \frac{1}{e},\sqrt{e}\rangle$ . Dakle, za $ x\in\langle \frac{1}{e},\sqrt{e}\rangle$ je $ f'(x)>0$ , pa za $ x
\in \langle 0, 1/e \rangle\cup\langle\sqrt{e}, \infty \rangle$ vrijedi $ f'(x)<0$ . Budući je

$\displaystyle f\left(\frac{1}{e}\right)=-1$   i$\displaystyle \quad f\left(\sqrt e\right)=\frac{1}{2\sqrt[4]{e^3}},$    

zadana funkcija ima lokalni minimum u točki

$\displaystyle T_1=\left(\frac{1}{e},-1\right),$    

a lokalni maksimum u točki

$\displaystyle T_2=\left(\sqrt e,\frac{1}{2\sqrt[4]{e^3}}\right).$    

b)
Izračunajmo prvu derivaciju funkcije $ f$ . Vrijedi

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^{\frac{2}{3}}-x^{\fr...
...3}}\left[\left(1-x\right)^{\frac{2}{3}}-x\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\right]$    
  $\displaystyle =\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^{-\frac{1}{3}}\left(...
...\frac{1}{3}}\left(1-x\right)^{\frac{1}{3}}} =\frac{2(1-2x)}{3\sqrt[3]{x(1-x)}}.$    

Provjerimo nužan uvjet postojanja ekstrema korištenjem [*] [M1, teorem 5.12]. Iz $ f'(x)=0$ slijedi $ 1-2x=0$ pa je stacionarna točka zadane funkcije $ x_1=\frac{1}{2}$ . Dovoljne uvjete provjerimo pomoću prve derivacije. Odredimo za koje $ x\in \mathbb{R}$ je $ f'(x)>0$ , što se svodi na

$\displaystyle \frac{1-2x}{x(1-x)}>0.$

Rješenja ove nejednadžbe su svi $ x\in\langle0,\frac{1}{2}\rangle\cup\langle1,+\infty\rangle$ . Stoga je $ f'(x)<0$ za sve $ x\in\langle-\infty,0\rangle\cup\langle\frac{1}{2},1\rangle$ . Prema [*] [M1, teorem 5.13] je točka

$\displaystyle T_1=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt[3]{16}}\right)$    

lokalni maksimum funkcije $ f$ .

Nadalje, zadana funkcija nije derivabilna u točkama $ x_2=0$ i $ x_3=1$ pa su to kritične točke. Za točku $ x_2=0$ vrijedi

$\displaystyle \lim_{x \to 0-0}f'(x)=\lim_{x \to 0-0}\frac{2(1-2x)}{3\sqrt[3]{x(1-x)}}=-\infty,$

pa je za $ x<0$ funkcija $ f$ padajuća, dok je

$\displaystyle \lim_{x \to 0+0}f'(x)=\lim_{x \to 0+0}\frac{2(1-2x)}{3\sqrt[3]{x(1-x)}}=+\infty,$

pa je za $ x>0$ funkcija $ f$ rastuća.

Za $ x_3=1$ je

$\displaystyle \lim_{x \to 1-0}f'(x)=\lim_{x \to 1-0}\frac{2(1-2x)}{3\sqrt[3]{x(1-x)}}=-\infty,$

pa je za $ x<1$ funkcija $ f$ padajuća, dok je

$\displaystyle \lim_{x \to 1+0}f'(x)=\lim_{x \to 1+0}\frac{2(1-2x)}{3\sqrt[3]{x(1-x)}}=+\infty,$

pa je za $ x>1$ funkcija $ f$ rastuća. Slijedi da funkcija $ f$ ima lokalne minimume (šiljke) u točkama $ T_2(0,0)$ i $ T_3(1,0)$ .


L'Hospitalovo pravilo     DERIVACIJE I PRIMJENE     Lokalni ekstremi parametarski zadane