×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Deriviranje parametarski zadane funkcije     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tangenta na graf parametarski


Tangenta na graf eksplicitno zadane funkcije

Odredite jednadžbu tangente i normale na graf funkcije $ f$ zadane s

$\displaystyle f(x)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits e^{2x}+\ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{2e^{2x}-1}}$    

u točki $ x_0=0$ .

Rješenje. Zbog svojstava logaritamske funkcije je

$\displaystyle \ln\sqrt{\frac{e^{2x}}{2e^{2x}-1}}=\ln\left(\frac{e^{2x}}{2e^{2x}...
...ac{e^{2x}}{2e^{2x}-1}
\right)=\frac{1}{2}\left[\ln e^{2x}-\ln(2e^{2x}-1)\right]$

pa je

$\displaystyle f(x)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits e^{2x} + x-\frac{1}{2}\ln\left(2e^{2x}-1\right).$

Izračunajmo derivaciju funkcije $ f$ . Vrijedi

$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+(e^{2x})^2} \cdot e^{2x}\cdot 2+1-\frac{1}{2}\cd...
...dot2\cdot e^{2x}\cdot 2 = \frac{2e^{2x}}{1+e^{4x}}+1-\frac{2e^{2x}}{2e^{2x}-1}.$    

Koeficijent smjera $ k$ tangente na graf funkcije $ f$ u točki $ x_0=0$ je jednak

$\displaystyle k=f'(x_0)=\frac{2e^0}{1+e^0}+1-\frac{2e^0}{2e^0-1}=0.$    

Vrijednost funkcije $ f$ u točki $ x_0=0$ iznosi

$\displaystyle f(x_0)=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits 1+0-\frac{1}{2}\ln 1=\frac{\pi}{4}.$    

Budući da tangenta prolazi diralištem $ D(x_0,f(x_0))$ , jednadžba tangente glasi

$\displaystyle y-f(x_0)=k(x-x_0),$

odakle uvrštavanjem dobivamo

$\displaystyle y-\frac{\pi}{4}$ $\displaystyle =0(x-0),$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =\frac{\pi}{4}.$    

Vidimo da je dobivena tangenta paralelne a $ x$ -osi pa je normala na graf funkcije $ f$ u točki $ x_0=0$ pravac okomit na $ x$ -os koji prolazi diralištem $ D(x_0,f(x_0))$ čija jednadžba glasi $ x=x_0$ , odnosno $ x=0$ .


Deriviranje parametarski zadane funkcije     DERIVACIJE I PRIMJENE     Tangenta na graf parametarski