×   HOME
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika1
Zadaci za vježbu     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     DERIVACIJE I PRIMJENE


Rješenja

1.
$ \mathcal{D}(f)=\left[ -\sqrt 6,\sqrt 6\right]$ .

2.
$ \mathcal{D}(f)=\langle-1,1\rangle$ .

3.

a)
$ \displaystyle \mathcal{D}(f)=\bigcup_{\substack{k\in\mathbb{Z}}} \langle2k\pi,(2k+1)\pi\rangle$ ,

b)
$ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\backslash\{k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$ .

4.
a)
$ \mathcal{D}(f)=[-1,3]$ ,

b)
$ \mathcal{D}(f)=[1,4\rangle$ .

5.
Koristite upute dane u [*] [M1, poglavlje 4.6.5].
a)
Vidi sliku 4.8.

Slika 4.8: Graf funkcije $ f(x)=2\sin {\left (\frac {1}{2}x-\frac {\pi }{4}\right )}$ .
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=funkcije/vjezba45a.eps,width=7cm} \end{center}\end{figure}

b)
Vidi sliku 4.9.

Slika 4.9: Graf funkcije $ f(x)=2\cos {\left (3x+\frac {\pi }{4}\right )}$ .
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=funkcije/vjezba45b.eps,width=7cm} \end{center}\end{figure}

c)
Vidi sliku 4.10.

Slika 4.10: Graf funkcije $ f(x)=\cos ^2 x$ .
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=funkcije/vjezba45c.eps,width=7cm} \end{center}\end{figure}

6.
Primjenom [*][M1, definicija 1.9].

7.
$ \displaystyle f^{-1}(x)=(1+2e^x)/(2-3e^x)$ .

8.
$ \displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{2} \arcsin {\frac{x}{3}}-\frac{\pi}{3}$ .

9.
$ 0, 1$ .

10.
$ \displaystyle \pi/2+1, -\pi/2-1$ .

11.
a)
$ 2$ ,

b)
$ 2$ ,

c)
$ 1$ ,

d)
0 , $ x\to+\infty$ ; $ -2$ , $ x\to -\infty$ .

12.
$ \displaystyle\frac{a-1}{3a^2}$ .

13.
a)
$ \displaystyle\frac{3}{2}$ ,

b)
$ 1$ .

14.
a)
0 ,

b)
$ \displaystyle\frac{a^2}{b^2}$ .

15.
a)
$ -\sin a$ ,

b)
$ \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

16.
a)
$ \displaystyle\frac{3}{2}$ ,

b)
$ 9$ .

17.
a)
$ e$ ,

b)
$ 1$ ,

c)
$ 1$ .

18.
$ \lambda=1$ .

19.
$ \lambda=2$ .

20.
a)
Funkcija $ f$ ima u točki $ x=0$ prekid prve vrste.

b)
Funkcija $ f$ ima u točki $ x=0$ uklonjivi prekid.

c)
Funkcija $ f$ ima u točki $ x=-1$ prekid druge vrste.

d)
Funkcija $ f$ ima u točki $ x=7$ uklonjivi prekid.

21.
$ f(1)=3$ .

22.
$ f(0)=1$ .

23.
Korištenjem [*] [M1, definicija 4.6].

24.
a)
Pravci $ x=-1$ i $ x=1$ su vertikalne asimptote, a pravac $ y=0$ horizontalna asimptota. Vidi sliku 4.11.

Slika 4.11: Graf funkcije $ f(x)=\displaystyle \frac {1}{x^2-1}$ .
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=funkcije/vjezba424a.eps, width=7cm}\end{center}\end{figure}

b)
Funkcija $ f$ nema asimptota.

c)
Pravac $ x=-5$ je vertikalna asimptota, a pravac $ y=x-3$ kosa asimptota. Vidi sliku 4.12.

Slika 4.12: Graf funkcije $ f(x)=\displaystyle \frac {x^2+2x-3}{x+5}$ .
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=funkcije/vjezba424c.eps, width=7cm}\end{center}\end{figure}

d)
Pravac $ x=-4$ je vertikalna asimptota, a pravac $ y=\frac{1}{3}(2x+1)$ kosa asimptota. Vidi sliku 4.13.

Slika 4.13: Graf funkcije $ f(x)=\displaystyle \frac {2x^2+9x+7}{3(x+4)}$ .
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=funkcije/vjezba424d.eps, width=7cm}\end{center}\end{figure}

e)
Pravac $ x=0$ je vertikalna asimptota s desne strane, pravac $ x=-\frac{3}{2}$ vertikalna asimptota s obje strane, a pravac $ y=\frac{1}{2}$ obostrana horizontalna asimptota. Vidi sliku 4.14.

Slika: Graf funkcije $ f(x)=\displaystyle \frac{x}{2x+3}\,e^{1/x}$ .
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=funkcije/vjezba424e.eps, width=7cm}\end{center}\end{figure}

25.
Pravac $ x=-1$ je vertikalna asimptota s desne strane, a funkcija nema horizontalnih i kosih asimptota.

26.
Pravac $ y=-x-1$ je kosa asimptota na desnoj strani, a pravac $ y=3x+1$ kosa asimptota na lijevoj strani.

27.
Pravac $ x=0$ je vertikalna asimptota, pravac $ y=\frac{e}{2}$ horizontalna asimptota, a pravac $ y=e^2x-\frac{5}{2}\,e$ kosa asimptota (vidi [*] [M1, primjer 4.12]).

Zadaci za vježbu     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     DERIVACIJE I PRIMJENE