U ovom poglavlju definirat ćemo partitivni skup, Kartezijev produkt
skupova i binarnu relaciju te dati klasifikaciju binarnih relacija.
Skup je pojam koji se ne definira. Skup je zadan svojim
elementima. Na primjer, skup
ima
elemente
,
,
i
. Tu činjenicu zapisujemo s
dok, recimo, .
S
označavamo prazan skup,
odnosno skup bez elemenata.
Zadatak 1.2Ponovite pojmove podskupa, nadskupa, unije skupova, presjeka skupova i
razlike skupova te osnovna svojstva tih operacija.
Partitivni skup
skupa
je skup
čiji su elementi svi
podskupovi skupa
. Na primjer, ako je
, tada je
Dakle, uvijek je
i
.
Definicija 1.3Direktni produkt
ili Kartezijev produkt
skupova
i
je skup svih uređenih parova
, gdje je
i
,
odnosno
Na primjer, ako je
i
, tada je
Također,
za svaki skup
.
Definicija 1.4Binarna relacija na skupu
je svaki podskup
. Ako je uređeni par
, kažemo
da je
u relaciji
s
, i pišemo
ili
. Binarna relacija je:
refleksivna
ako je
za svaki
;
simetrična
ako
;
tranzitivna
ako
;
relacija ekvivalencije
ako je refleksivna, simetrična i
tranzitivna.
Na primjer, neka je
skup ljudi i neka je
ako su
i
rođeni istog dana. Očito vrijedi
pa je
relacija ekvivalencije.
Napomena 1.1Relacija ekvivalencije na skupu
cijepa taj skup na
međusobno disjunktne podskupove, takozvane klase
ekvivalencije. Skup
se može na jedinstven način prikazati kao
unija tih klasa ekvivalencije.