Diferencijalni račun izložen u prethodnim poglavljima ima mnoge važne primjene u fizici i tehnici. Ovdje ćemo kao ilustraciju detaljno opisati postupak riješavanja problema ravnoteže prikazanog na slici 5.18:
Preko koluta radijusakoji se nalazi na udaljenosti
od ishodišta namotana je nit duljine
na čijim su krajevima obješeni utezi s masama
i
. Pri tome je
i
. Kolut se oko svoje osi vrti bez trenja, a uteg s masom
se također bez trenja kliže po
-osi. Zadatak je odrediti ima li navedeni mehanički sustav položaj ravnoteže, te ukoliko ima, naći taj položaj.5.1
Sa slike 5.18 vidimo da je
.
Potencijalna energija
zadanog sustava u polju sile teže s
gravitacijskom konstantom
dana je jednadžbom
Pokazuje se da je najpogodnija varijabla kut
.
Zbog sličnosti trokuta vrijedi
.
Očito je
.
Trokut
je pravokutan pa je
Zbog pravokutnosti trokuta
pa je
Označimo s
duljinu dijela niti namotanog na kolut,
Tada je
Vrijedi
pa je
Sada treba utvrditi ima li funkcija
minimum za
. Zapravo se u ovom slučaju također radi o
geometrijskom ekstremu
(vidi poglavlje 5.7.1).
Pogledajmo prvo kako se funkcija ponaša u rubovima intervala. Vrijedi
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
||
![]() |
Ovim smo napravili važan korak u analizi zadanog sustava, jer čak i ako položaj ravnoteže ne budemo mogli točno odrediti, znamo da on postoji.
Da bi odredili položaj ravnoteže, nađimo prvo derivaciju zadane
funkcije:
![]() |
![]() |
![]() |
|
![]() |
|||
![]() |
![]() |
Rješenja ove jednadžbe su
![]() |
![]() |
|
![]() |
Kako je
odnosno
Kako je derivacija
Dovoljan uvjet ekstrema provjerit ćemo pomoću teorema 5.14. Pri tome možemo koristiti postupak skraćenog deriviranja koji se sastoji u sljedećem: ako je derivacija neke funkcije razlomak
i ako je
Dakle,
![]() |
![]() |
|
![]() |
pa funkcija
Trebamo još ustanoviti da se u točki
nalazi i globalni
minimum zadane funkcije na promatranom intervalu.
Zaista, kako je
to znači da je derivacija
rastuća u nekoj okolini točke
. Kako je
, to je
negativna lijevo od točke
, a pozitivna desno od točke
.
Kako je
jedina nul-točka derivacije na promatranom
intervalu, slijedi da je
za
i
za
.
Teorem o monotonosti 5.11 povlači da je funkcija
strogo padajuća na intervalu
i strogo rastuća na
intervalu
pa zaključujemo je
točka
globalnog minimuma.
Zadani sustav će zauzeti položaj ravnoteže za kut
.
Zanimljivo je uočiti da položaj ravnoteže ne ovisi ni o udaljenosti
, ni o radijusu koluta
, niti o duljini niti
, nego samo o
omjeru masa utega. Na primjer, kada se udaljenost
poveća, tada se
uteg s masom
podigne, a uteg s masom
spusti.