×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Približno računanje     DERIVACIJE I PRIMJENE     Deriviranje parametarski zadane funkcije


Više derivacije i diferencijali

Neka je $ f:\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ zadana funkcija. Njena derivacija $ f':\mathcal{A}\subseteq\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ je također funkcija pa je možemo derivirati. Druga derivacija funkcije $ f$ je derivacija funkcije $ f'$ , odnosno

$\displaystyle f''\equiv(f')':\mathcal{B}\subseteq\mathcal{A}\subseteq\mathcal{D}\to \mathbb{R}.
$

Indukcijom definiramo $ n$ -tu derivaciju funkcije $ f$ kao derivaciju njene $ (n-1)$ -ve derivacije,

$\displaystyle f^{(n)}=\big(f^{(n-1)}\big)'.
$

Primjer 5.9  
a)
Za više derivacije funkcije $ y=e^{kx}$ vrijedi

$\displaystyle y'$ $\displaystyle =e^{kx}\cdot k=k e^{kx} ,$    
$\displaystyle y''&=ke^{kx}\cdot k=k^2 e^{kx},$    
$\displaystyle y'''$ $\displaystyle =k^2e^{kx}\cdot k=k^3 e^{kx},$    

pa indukcijom zaključujemo da je $ n$ -ta derivacija jednaka

$\displaystyle y^{(n)}=k^n e^{kx}.
$

b)
Za polinom

$\displaystyle y=a_3 x^3+a_2x^2+a_1x+a_0
$

vrijedi

$\displaystyle y'$ $\displaystyle = 3a_3 x^2 + 2a_2 x+a_1 ,$    
$\displaystyle y''&=6a_3x+ 2a_2,$    
$\displaystyle y'''$ $\displaystyle =6a_3,$    
$\displaystyle y^{IV}$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle y^{V}$ $\displaystyle =0,$    
  $\displaystyle \ \vdots$    

Lako vidimo da općenito za polinom $ n$ -tog stupnja $ p_n(x)$ vrijedi

$\displaystyle p_n^{(k)}(x)=0, \qquad k > n.
$

Diferencijale višeg reda definiramo analogno. Neka je $ y=f(x)$ dva puta derivabilna funkcija. Diferencijal drugog reda funkcije $ f$ je diferencijal njenog diferencijala $ dy$ , odnosno

$\displaystyle d^2 f\equiv d^2 y= d(dy).
$

Pri tome prema formuli (5.9) vrijedi

$\displaystyle d^2 y=d(dy)=(dy)'dx=(f'(x)dx)'dx=f''(x) dx\cdot dx=f''(x)dx^2.
$

Primijetimo da se ovdje prilikom deriviranja $ dx$ tretira kao konstanta.

Iz ove formule slijedi još jedan koristan izraz za drugu derivaciju:

$\displaystyle f''(x)=\frac{d^2 y}{dx^2}.$ (5.11)

Nadalje, ako je $ y=f(x)$ $ n$ puta derivabilna funkcija, tada je diferencijal $ n$ -tog reda funkcije $ f$ dan s

$\displaystyle d^n f\equiv d^n y= d(d^{n-1})y = f^{(n)} dx^n.
$


Približno računanje     DERIVACIJE I PRIMJENE     Deriviranje parametarski zadane funkcije