×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Više derivacije i diferencijali     DERIVACIJE I PRIMJENE     Teoremi diferencijalnog računa


Deriviranje parametarski zadane funkcije

Jedna od važnih primjena diferencijala je deriviranje parametarski zadanih funkcija. Derivaciju parametarski zadane funkcije

$\displaystyle x=\varphi (t),\quad y=\psi(t), \qquad t\in\mathcal{D}\subseteq \mathbb{R},
$

računamo pomoću formule (5.10):

$\displaystyle f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d(\psi(t))}{d(\varphi (t))}=
\frac{\psi'(t)dt}{\varphi '(t)dt}=\frac{\psi'(t)}{\varphi '(t)}.
$

Često se koristi i kraći zapis

$\displaystyle y'=\frac{\dot y}{\dot x},\qquad \dot y=\psi'(t),\quad \dot x=\varphi '(t),
$

pri čemu $ y'$ označava deriviranje po nezavisnoj varijabli $ x$ , a $ \dot x$ i $ \dot y$ označava deriviranje po parametru.

Primjer 5.10   Odredimo tangentu na krivulju zadanu s

$\displaystyle x=2\cos t, \quad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi],
$

u točki $ x=1$ , $ y>0$ . Ovo je parametarski zadana elipsa iz poglavlja 5.1.4 koja je prikazana na slici 5.3. Formula (5.10) daje

$\displaystyle y'=\frac{\cos t}{-2\sin t}.
$

Odredimo $ t$ : iz $ x=1=\cos t$ slijedi $ \cos t=1/2$ pa je $ t=\pi/3$ ili $ t=-\pi/3$ . Uvjet $ y>0$ povlači $ t=\pi/3$ i $ y=\sin \pi/3=\sqrt{3}/2$ . Dakle,

$\displaystyle y'(1)=\frac{\cos \frac{\pi}{3}}{-2\sin \frac{\pi}{3}}
=-\frac{\frac{1}{2}}{2 \frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{1}{2\sqrt{3}}
$

pa je jednadžba tražene tangente dana s (5.3).

Formulu za drugu derivaciju parametarski zadane funkcije također dobijemo primjenom formule (5.10):

$\displaystyle y''=\frac{d(y')}{dx}=
\frac{d\bigg(\displaystyle \frac{\dot y}{\d...
...ddot x}{\dot x^2}dt}{\dot x dt}
=\frac{\ddot y\dot x-\dot y\ddot x}{\dot x^3}.
$

Ovu formulu smo također mogli izvesti koristeći formulu (5.11).


Više derivacije i diferencijali     DERIVACIJE I PRIMJENE     Teoremi diferencijalnog računa