×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Sjecište simetrale kuta i     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Rješenja

Zadaci za vježbu

1.

Odredite duljinu vektora $\mathbf{a}=\mathbf{p}-2\mathbf{q}$ ako je $\vert\mathbf{p}\vert=2$ , $\vert\mathbf{q}\vert=3$ , $\angle(\mathbf{p},\mathbf{q})=\displaystyle\frac{\pi}{6}$ .

2.

Zadani su vektori $\mathbf{a}=\{2\lambda,1,1-\lambda\}$ , $\mathbf{b}=\{-1,3,0\}$ i $\mathbf{c}=\{5,-1,8\}$ . Nađite parametar $\lambda$ za koji je $\angle(\mathbf{a},\mathbf{b})=\angle(\mathbf{a},\mathbf{c})$ .

3.

Zadani su vektori $\mathbf{a}=\{1,-2,1\}$ , $\mathbf{b}=\{-1,1,2\}$ i $\mathbf{c}=\{1,y,z\}$ . Ako je $\mathbf{c}\perp \mathbf{a}$ i $\mathbf{c}\perp \mathbf{b}$ , izračunajte $y$ i $z$ .

4.

Odredite parametar $\lambda$ takav da su vektori $\mathbf{a}=\{2,-3,0\}$ i $\mathbf{b}=\{\lambda,4,0\}$ okomiti.

5.

Odredite kut $\alpha$ između vektora $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ ako je $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\perp(7\mathbf{a}-5\mathbf{b})$ i $(\mathbf{a}-4\mathbf{b})\perp(7\mathbf{a}-2\mathbf{b})$ .

6.

Zadani su vektori $\mathbf{p}$ i $\mathbf{q}$ takvi da je $\vert\mathbf{p}\vert=2$ , $\vert\mathbf{q}\vert=3$ i $\angle(\mathbf{p},\mathbf{q})=\displaystyle\frac{\pi}{3}$ .

a)

Izrazite vektor $\mathbf{n}$ preko vektora $\mathbf{p}$ i $\mathbf{q}$ ako vrijedi $\mathbf{n}\cdot\mathbf{p}=7$ i $\mathbf{n}\cdot\mathbf{q}=3$ .

b)

Izrazite jedinični vektor vektora $\mathbf{n}$ preko $\mathbf{p}$ i $\mathbf{q}$ .

7.

Odredite vektor $\mathbf{b}$ koji je kolinearan s vektorom $\mathbf{a}=\{2,-1,2\}$ i zadovoljava uvjet $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=-18$ .

8.

Odredite površinu $P$ trokuta što ga određuju vektori $\mathbf{a}=\{2,3,5\}$ i $\mathbf{b}=\{1,2,1\}$ .

9.

Odredite površinu $P$ trokuta s vrhovima $A(1,1,1)$ , $B(2,3,4)$ i $C(4,3,2)$ .

10.

Odredite duljinu visine $v_A$ spuštene iz vrha $A$ u trokutu $ABC$ ako su vrhovi trokuta $A(1,0,-1)$ , $B(-1,1,1)$ i $C(0,2,1)$ .

11.

Odredite površinu $P$ i duljinu visine $v_B$ spuštene iz vrha $B$ u trokutu $ABC$ s vrhovima $A(1,-2,8)$ , $B(0,0,4)$ i $C(6,2,0)$ .

12.

Zadani su vrhovi $A(1,-2,3)$ , $B(3,2,1)$ i $C(6,4,4)$ paralelograma $ABCD$ . Odredite površinu $P$ paralelograma $ABCD$ i koordinate vrha $D$ .

13.

Odredite površinu $P$ paralelograma s dijagonalama $\mathbf{e}=2\mathbf{m}-\mathbf{n}$ i $\mathbf{f}=4\mathbf{m}-5\mathbf{n}$ , ako je $\vert\mathbf{m}\vert=\vert\mathbf{n}\vert=1$ i $$\angle(\mathbf{m}, \mathbf{n})=\frac{\pi}{4}$$ .

14.

Zadani su vektori $\mathbf{m}=\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c}$ , $\mathbf{n}=-2\mathbf{a}-\mathbf{b}+\mathbf{c}$ , gdje su $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ jedini�ni vektori koji zatvaraju kutove $$\angle(\mathbf{a},\mathbf{b})=\frac{\pi}{3}$$ , $$\angle(\mathbf{b},\mathbf{c})=\frac{2\pi}{3}$$ i $$\angle(\mathbf{a},\mathbf{c})=\frac{\pi}{3}$$ . Izračunajte duljine dijagonala $d_1$ i $d_2$ paralelograma konstruiranog nad tim vektorima.

15.

Odredite volumen $V$ paralelopipeda razapetog vektorima $\mathbf{a}=\{1,0,3\}$ , $\mathbf{b}=\{-1,1,0 \}$ i $\mathbf{c}=\{2,1,1 \}$ .

16.

Zadane su točke $A(1,2,1)$ , $B(3,-2,1)$ , $C(1,4,3)$ i $D(5,0,5)$ . Izračunajte volumen $V$ paralelopipeda razapetog vektorima $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{AD}$ .

17.

Pokažite da ako za tri proizvoljna vektora $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ vrijedi $\mathbf{a}\times\mathbf{b}+\mathbf{b}\times\mathbf{c}+\mathbf{c}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}$ , onda su vektori $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ komplanarni, a vektori $\mathbf{d}=\mathbf{a}-\mathbf{c}$ i $\mathbf{e}=\mathbf{b}-\mathbf{a}$ kolinearni.

18.

Odredite parametar $t$ takav da vektori $\mathbf{a}=\{3,2,t \}$ , $\mathbf{b}=\{-1,0,0\}$ i $\mathbf{c}=\{4,1,0 \}$ ne čine bazu vektorskog prostora.

19.

Odredite jedinični vektor okomit na vektore $\mathbf{a}=\{-2,-6,-1\}$ i $\mathbf{b}=\{1,2,0\}$ koji s vektorom $\mathbf{c}=\{-2,1,0\}$ zatvara šiljasti kut. U smjeru tog jediničnog vektora odredite $\mathbf{d}$ takav da vektori $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{d}$ budu stranice paralelopipeda čiji volumen iznosi $18$ .

20.

Odredite jednadžbe koordinatnih ravnina, te ravnina paralelnih s njima.

21.

Odredite jednadžbu ravnine $\pi$ koja sadrži točku $T(1,-3,2)$ i paralelna je s ravninom $\pi_1\ \ldots \ 7x-4y+z-4=0$ .

22.

Odredite jednadžbu ravnine $\pi$ koja prolazi točkom $M(-2,1,-5)$ i okomita je na ravnine

$$\pi_1\ \ldots\ -3x + 2y + z + 5 = 0 \quad\textrm{ i }\quad \pi_2\ \ldots\ 6x - 5y + 4z + 2 = 0.$$

23.

Odredite jednadžbu ravnine $\pi$ koja prolazi točkama $A(1,2,3)$ , $B(3,2,1)$ i okomita je na ravninu $\pi_1\ \ldots\ 4x-y+2z-7=0$ .

24.

Odredite opći, segmentni i normalni oblik jednadžbe ravnine $\pi$ kroz točke $A(2,-6,4)$ , $B(10,2,-8)$ i $C(0,4,6)$ .

25.

Odredite kanonske i parametarske jednadžbe koordinatnih osi.

26.

Vrhovi trokuta su $A(1,1,1)$ , $B(3,0,3)$ i $C(-2,1,1)$ . Odredite jednadžbu simetrale $s$ kuta $BAC$ .

27.

Odredite jednadžbu ravnine $\pi$ koja sadrži točku $P(1,-1,2)$ i pravac koji je zadan kao presjek ravnina $3x+y-z+5=0$ i $x-y+2z-1=0$ .

28.

Odredite jednadžbu ravnine $\pi$ koja prolazi točkama $A(1,0,-1)$ i $B(-1,2,1)$ , a paralelna je s pravcem koji je presjek ravnina $3x+y-2z-6=0$ i $4x-y+3z=0$ .

29.

Odredite jednadžbu ravnine $\pi$ koja sadrži pravce

$$p_1\ \ldots\ \frac{x}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+2}{-1}\quad\textrm{ i }\quad p_2\ \ldots\ \frac{x-2}{-2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z}{-1}.$$

30.

Odredite sjecište $S$ pravca

$$p\ \ldots\ \frac{x-2}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{-1}$$

i ravnine $\pi\ \ldots\ 2x-3y+z+4=0$ .

31.

Ispitajte međusobni položaj pravca

$$p\ \ldots\ \frac{x}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{1}$$

i ravnine $\pi\ \ldots\ x+y+3z-7=0$ .

32.

Da li se pravci

$$p_1\ \ldots\ \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{1}\quad\textrm{ i }\quad p_2\ \ldots\ \frac{x}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$$

sijeku?

33.

Odredite jednadžbu pravca $p$ koji prolazi točkom $A(2,-3,1)$ , siječe pravac

$$q\ \ldots\ \frac{x-3}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-5}{3}$$

i okomit je na njega.

34.

Odredite jednadžbu pravca $p$ koji leži u ravnini $\pi\ \ldots\ x-4y+2z-7=0$ , prolazi točkom $T$ u kojoj pravac $p_1$ zadan jednadžbama $x - 2y - 4z + 3 = 0$ i $2x + y - 3z + 1 = 0$ probada ravninu $\pi$ i okomit je na pravac $p_1$ .

35.

Odredite točku $N$ simetričnu točki $M(3,-1,1)$ s obzirom na ravninu koja prolazi točkama $T_1(-2,-1,-1)$ , $T_2(2,1,-5)$ i $T_3(-4,-1,0)$ .

36.

Odredite kanonsku jednadžbu ortogonalne projekcije pravca

$$p\ \ldots \ \frac{x-7}{-8}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}$$

na ravninu $\pi\ \ldots \ x-y+3z+7=0$ .

37.

Odredite kanonsku jednadžbu ortogonalne projekcije pravca

$$p\ \ldots \ \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-3}{-1}$$

na ravninu $\pi\ \ldots \ x+2y-5z+3=0$ .

38.

Zadani su paralelni pravci

$$p\ \ldots \ \frac{x}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-3}{0} \quad\textrm{ i }\quad q\ \ldots \ \frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-3}{0}.$$

Odredite ravninu $\pi$ s obzirom na koju su ti pravci zrcalno simetrični.

39.

Odredite sve točke na pravcu $p$ zadanog kao presjek ravnina $x+y-3z+6=0$ i $x-y-z=0$ koje su udaljene od točke $T(1,0,1)$ za $\sqrt{8}$ .

40.

Odredite jednadžbu ravnine $\pi$ koja prolazi pravcem

$$p_1\ \ldots \ \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{1}$$

i paralelna je pravcu

$$p_2\ \ldots \ \frac{x+3}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z+2}{2}.$$

Izračunajte udaljenost pravca $p_2$ od ravnine $\pi$ .

41.

Izračunajte udaljenost točke $M(2,-1,3)$ od pravca

$$p\ \ldots \ \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-1}{2}.$$

42.

Odredite najmanju udaljenost između pravaca

$$p_1\ \ldots \ \frac{x+1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{3}\quad\textrm{ i }\quad p_2\ \ldots \ \frac{x}{-1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{2}.$$

43.

Odredite najmanju udaljenost između pravaca

$$p_1\ \ldots \ \frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{2}\quad\textrm{ i }\quad p_2\ \ldots \ \frac{x}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-2}{4}.$$

44.

Na pravcu

$$p\ \ldots \ \frac{x+4}{1}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z-10}{-1}$$

odredite točku $A$ koja je najbliža pravcu

$$q\ \ldots \ \frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z+3}{2}.$$

Sjecište simetrale kuta i     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Rješenja