×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Udaljenost paralelnih pravaca     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Sjecište simetrale kuta i

Udaljenost mimosmjernih pravaca

Zadani su pravci $p_1$ , koji prolazi točkama $A(1,0,-1)$ i $B(-1,1,0)$ , i $p_2$ , koji prolazi točkma $C(3,1,-1)$ i $D(4,5,-2)$ . Dokažite da su ti pravci mimosmjerni i odredite najmanju udaljenost između njih.

Rješenje. Pravci $p_1$ i $p_2$ imaju vektore smjera

$$\mathbf{s}_1 = \overrightarrow{AB} = -2\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k},$$

$$\mathbf{s}_2 = \overrightarrow{CD} = \mathbf{i}+4\mathbf{j}-\mathbf{k},$$

pa nisu paralelni. Još treba pokazati da se ne sijeku. Uvedimo vektor $\mathbf{v}=\overrightarrow{CB}=-4\mathbf{i}+\mathbf{k}$ koji spaja točku $C$ na pravcu $p_2$ s točkom $B$ na pravcu $p_1$ . Mješoviti produkt vektora $\mathbf{s}_1$ , $\mathbf{s}_2$ i $\mathbf{v}$ ,

$$\mathbf{v}\cdot (\mathbf{s}_1\times \mathbf{s}_2)=\begin{vmatrix}-4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & -1 \end{vmatrix}=11$$

je različit od nule pa vektori nisu komplanarni. Stoga se pravci $p_1$ i $p_2$ ne sijeku. Najkraća udaljenost između dva mimosmjerna pravca određuje se po formuli

$$d(p_1, p_2)=\frac{\vert\mathbf{v}\cdot (\mathbf{s}_1\times \mathbf{s}_2)\vert}{\vert\mathbf{s}_1\times \mathbf{s}_2\vert}.$$

Vrijedi $\vert\mathbf{s}_1\times \mathbf{s}_2\vert=\vert-5\mathbf{i}-\mathbf{j}-9\mathbf{k}\vert=\sqrt{107}$ pa je

$$d(p_1, p_2)=\frac{11}{\sqrt{107}}.$$

Udaljenost paralelnih pravaca     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Sjecište simetrale kuta i