×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Sjecište dvaju pravaca     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Ortogonalna projekcija točke na

Ortogonalna projekcija točke na pravac

Odredite točku $N$ simetričnu točki $M(1,0,2)$ s obzirom na pravac

$$p\ \ldots\ \frac{x-2}{3}=\frac{y}{5}=\frac{z+1}{1}.$$

Rješenje. Odredimo prvo ortogonalnu projekciju $P$ točke $M$ na pravac $p$ . Neka je $\pi$ ravnina koja prolazi točkom $M$ i okomita je na $p$ . Tada za vektor normale $\mathbf{n}$ ravnine $\pi$ možemo uzeti vektor smjera pravca $p$ pa je $\mathbf{n} =\{3,5,1\}$ . Jednadžba ravnine $\pi$ glasi

$$3\cdot(x-1)+5\cdot(y-0)+1\cdot(z-2)=0,$$

odnosno

$$3x+5y+z-5=0.$$

Točka $P$ je sjecište ravnine $\pi$ i pravca $p$ , pa uvrštavanjem parametarske jednadžbe pravca $p$

$$x=2+3t,\quad y=5t,\quad z=-1+t,\quad t\in\mathbb{R}$$

u jednadžbu ravnine $\pi$ dobivamo

$$3(2+3t)+5\cdot 5t+(-1+t)-5=0.$$

Slijedi $t=0$ i $P(2, 0, -1)$ . Točka $P$ je polovište dužine $\overline{MN}$ pa su, uz oznake $M(x_1, y_1, z_1)$ i $N(x_2, y_2, z_2)$ , njene koordinate koordinate jednake

$$\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2}\right).$$

Uvrštavanjem poznatih koordinata dobivamo

$$\frac{x_1+1}{2}=2,\quad \frac{y_1+0}{2}=0,\quad \frac{z_1+2}{2}=-1,$$

odakle je $x_1=3$ , $y_1=0$ i $z_1=-4$ pa je tražena točka $N(3, 0, -4)$ .

Sjecište dvaju pravaca     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Ortogonalna projekcija točke na