Limes niza rastavljanjem na parcijalne razlomke

Izračunajte limes niza čiji je opći član

$\displaystyle a_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k\cdot(k+1)}.$

Rješenje. Rastavimo izraz pod sumom na parcijalne razlomke, odnosno nađimo konstante i takve da za svaki $k\in \mathbb{N}$ vrijedi

$\displaystyle \frac{1}{k\cdot(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}.$

Množenjem jednakosti sa zajedničkim nazivnikom i sređivanjem slijedi

$\displaystyle 1=(A+B)k+A.$

Budući da dobivena jednakost vrijedi za sve $k\in \mathbb{N}$ , uvrštavanjem redom

dobivamo dvije jednadžbe

$\displaystyle 2A+B=1\quad\textrm{i}\quad 3A+2B=1,$

iz kojih slijedi

. Dakle, za svaki $k\in \mathbb{N}$ vrijedi

$\displaystyle \frac{1}{k\cdot(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},$

pa je

$\displaystyle a_n$	$\displaystyle = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k\cdot(k+1)}=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$
	$\displaystyle =\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+... ...s+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$
	$\displaystyle =1-\frac{1}{n+1},$

odakle slijedi

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n=\lim_{n\to \infty}a_n\left(1-\frac{1}{n+1}\right)= 1.$