×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Tangenta na graf parametarski     DERIVACIJE I PRIMJENE     L'Hospitalovo pravilo

Kut između tangenti

Odredite kut $\varphi$ pod kojim se sijeku tangenta na krivulju $$\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x}=\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2)$$ u točki $T(1,0)$ i tangenta na krivulju $$y=(\cos x)^{\sin x}$$ u točki s apscisom $x_0=0$ .

Rješenje. Odredimo prvo koeficijent smjera $k_1$ tangente na krivulju zadanu implicitno s

$$\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x}=\frac{1}{2}\ln (x^2+y^2).$$

Deriviranjem slijedi

$$\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\cdot\left(\frac{y}{x}\right)' = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot\left(x^2+y^2\right)',$$

$$\frac{1}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\cdot\frac{y'\cdot x-y\cdot1}{x^2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^2+y^2}\cdot(2x+2y\cdot y').$$

Tangenta prolazi točkom $T(1,0)$ , pa uvrštavanjem $x=1$ i $y=0$ dobivamo

$$\frac{1}{1+0^2}\cdot\frac{y'(1)\cdot 1-0\cdot1}{1^2}= \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1^2+0^2}\cdot[2\cdot1+2\cdot0\cdot y'(1)],$$

odakle je $k_1=y'(1)=1$ . Odredimo sada koeficijent smjera $k_2$ tangente na krivulju

$$y=(\cos x)^{\sin x}.$$

Logaritmiranjem i deriviranjem dobivamo

$$\ln y =\sin x \ln(\cos x),$$

$$\frac{1}{y}\cdot y' =\cos x \ln(\cos x)+\sin x\cdot \frac{1}{\cos x}\cdot(-\sin x),$$

$$y' =y\left[\cos x \ln(\cos x)-\frac{\sin^2 x}{\cos x}\right],$$

$$y' =(\cos x)^{\sin x}\left[\cos x \ln(\cos x)-\frac{\sin^2 x}{\cos x}\right].$$

Uvrštavanjem apcise dirališta $x_0=0$ slijedi

$$y'(0)=(\cos 0)^{\sin 0}\left[\cos 0 \ln(\cos 0)-\frac{\sin^2 0}{\cos 0}\right] =1^0\left(1\cdot \ln1-\frac{0}{1}\right)=0,$$

pa je $k_2=0$ . Vrijedi

$$\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi =\left\vert\frac{k_1-k_2}{1+k_1 k_2}\right\vert=\left\vert\frac{1-0}{1+1\cdot0}\right\vert=1.$$

Dakle, traženi kut je $\varphi =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits 1=\frac{\pi}{4}$ .

Tangenta na graf parametarski     DERIVACIJE I PRIMJENE     L'Hospitalovo pravilo