×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

KVIZ

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

PODSJETNIK

SADRŽAJ OSNOVE LINEARNA ALGEBRA VEKTORI I GEOMETRIJA FUNKCIJE DERIVACIJE NIZOVI I REDOVI

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika1 Primjena kada     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Oblik

Primjena $\lim (\sin x/x)$ kada $x\to \infty$

Izračunajte

$$\lim_{x\to \infty}\frac{x-\sin{x}}{x+\sin{x}}.$$

Rješenje. Izlučimo li $x$ iz brojnika i nazivnika dobivamo

$$\lim_{x\to \infty}\frac{x-\sin{x}}{x+\sin{x}}=\lim_{x\to \infty}\... ...ty}\frac{1-\displaystyle \frac{\sin{x}}{x}}{1+\displaystyle \frac{\sin{x}}{x}}.$$

Budući je $-1\leq \sin{x} \leq 1$ , za svaki $x\in \mathbb{R}$ , za $x>0$ vrijedi

$$-\frac{1}{x}\leq \frac{\sin{x}}{x} \leq \frac{1}{x}.$$

Kako je

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0,$$

[M1, teorem 4.4] povlači

$$\lim_{x\to \infty}\frac{\sin{x}}{x}=0$$

pa je zadani limes jednak

$$\lim_{x\to \infty} \frac{1-\displaystyle \frac{\sin{x}}{x}}{1+\displaystyle \frac{\sin x}{x}}=\frac{1-0}{1+0}=1.$$