×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika1
Limes slijeva i zdesna     FUNKCIJE REALNE VARIJABLE     Neodređeni oblik


Neodređeni oblik $ \infty / \infty $

Izračunajte:

a)
$ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}$ ,

b)
$ \displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$ .

Rješenje.

a)
Računanje zadanog limesa daje neodređeni oblik $ \frac{\infty}{\infty}$ . Izlučimo li $ \sqrt{x}$ iz brojnika i nazivnika razlomka pod limesom, dobivamo

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}+\sqrt[4]{x}}{\sqrt{2x+1}}$ $\displaystyle = \lim_{x\to\infty}\frac{\displaystyle\sqrt{x}\cdot \left(1+\frac...
...rac{1}{\sqrt[6]{x}}+\frac{1}{\sqrt[4]{x}}} {\sqrt{\displaystyle 2+\frac{1}{x}}}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}},$    

pri čemu koristimo

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^a}=0,\quad a>0.$

b)
Računanje zadanog limesa daje neodređeni oblik $ \frac{\infty}{\infty}$ . Izlučivanjem $ \sqrt{x^2}$ iz brojnika i $ x$ iz nazivnika razlomka pod limesom, dobivamo

$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$ $\displaystyle = \lim_{x\to\pm\infty}\frac{\displaystyle\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{1+\...
...\infty}\frac{\displaystyle\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} {\displaystyle 1+\frac{1}{x}}$    
  $\displaystyle = \left\{ \begin{matrix}\,\,\,\,1, & x\to+\infty\\ -1, & x\to-\infty \end{matrix} \right.$    

jer je

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}\frac{\vert x\vert}{x}=1\quad\textrm{i}\quad\lim_{x\to-\infty}\frac{\vert x\vert}{x}=-1.$