Linearna kombinacija vektora

Zadani su vektori $\mathbf{a}$ , $\mathbf{b}$ i $\mathbf{c}$ takvi da $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ nisu kolinearni i vrijedi $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ . Izrazite vektor $\mathbf{a}$ preko vektora $\mathbf{c}$ i $\mathbf{d}$ , ako je $\mathbf{d}=2\mathbf{a}+3\mathbf{b}$ .

Rješenje. Trebamo odrediti koeficijente $\alpha, \beta \in\mathbb{R}$ za koje vrijedi

$\displaystyle \mathbf{a}=\alpha \mathbf{c}+\beta \mathbf{d}.$

Iz zadanih uvjeta slijedi

$\displaystyle \mathbf{a}=\alpha (-\mathbf{a}-\mathbf{b})+\beta (2\mathbf{a}+3\mathbf{b}),$

odakle imamo

$\displaystyle (1+\alpha-2\beta)\mathbf{a}+(\alpha-3\beta)\mathbf{b}=\mathbf{0}.$

Nekolinearnost vektora $\mathbf{a}$ i $\mathbf{b}$ povlači njihovu linearnu nezavisnost pa je, prema

[M1, poglavlje 3.7],

$\displaystyle 1+\alpha-2\beta=0 \quad\textrm{ i }\quad \alpha-3\beta=0.$

Rješenja ovog sustava je $\alpha=-3$ , $\beta=-1$ . Tražena linearna kombinacija glasi

$\displaystyle \mathbf{a}=-3\mathbf{c}-\mathbf{d}.$