Određivanje područja konvergencije Cauchyjevim kriterijem
Odredite područje konvergencije i ispitajte ponašanje na rubu područja konvergencije reda:
a)
,
b)
,
c)
.
Rješenje.
a)
Budući je
prema Cauchyjevom kriteriju (iv) iz [M1, teorem 6.10], zadani red konvergira za sve
za koje vrijedi
, divergira za sve
za koje je
, a u točkama u kojima je
nema odluke.
Uvrštavanjem točke
dobivamo alternirani red
koji, prema Leibnizovom kriteriju, konvergira, dok uvrštavanjem točke
dobivamo harmonijski red
koji divergira. Dakle, zadani red konvergira za sve
, a inače divergira.
b)
Vrijedi
Prema Cauchyjevom kriteriju,
promatrani red konvergira za sve
za koje vrijedi
, a divergira za sve
za koje je
. Preostaje ispitati konvergenciju u točkama
i
. Njihovim uvrštavanjem dobivamo red
koji divergira jer ne zadovoljava nužan uvjet konvergencije iz
[M1, teorem 6.9]. Dakle, zadani red konvergira za
.
c)
Primjenom formule za sumu prvih
članova aritmetičkog niza, dobivamo da je opći član zadanog reda jednak
Budući je
prema Cauchyjevom kriteriju, zadani red konvergira za sve
za koje vrijedi
odnosno za sve
, a divergira za sve
. Za točke
i
, prema Cauchyjevom kriteriju, nema odluke. Pripadni red je
koji, prema [M1, napomena 6.3], konvergira. Slijedi da
je područje konvergencije jednako
.