Neodređeni integral

Definirajte primitivnu funkciju i neodređeni integral.

Navedite primjer.

Dokažite da se primitivne funkcije razlikuju do na konstantu.

Dokažite svojstva neodređenog integrala:

a): linearnost,
b): $(\int f(x) dx )'=f(x)$ ,
c): $d(\int f(x) dx )=f(x)dx$ ,
d): $\int dF(x)=F(x)+C$ .

Kako glasi tablica osnovnih integrala?

Opišite metode integriranja i dajte primjere:

a)

metode supstitucije:

i.

ako je $x=\phi(t)$ , i $\phi$ bijekcija, tada je

$\displaystyle \int f(x)dx=\int f(\phi(t))\phi'(t)dt,$

ii.

ako je $I=\int f(x)dx$ oblika

$\displaystyle \int f(x)dx=\int f(\phi(x))\phi'(x)dx,$

tada uz supstituciju $\phi(x)=t$ imamo $I=\int f(t)dt$ ,

b)

parcijalna integracija (dokažite formulu):

$\displaystyle \int u\cdot dv = u\cdot v -\int v \cdot du;$

c)

rekurzivne formule: izvedite, na primjer, formulu

$\displaystyle I_n = \int \frac{dx}{(1+x^2)^n}=\frac{x}{2(n-1)(1+x^2)^{n-1}}+ \frac{2n-3}{2(n-1)} I_{n-1} ,$

d)

integriranje racionalnih funkcija:

eliminacija zajedničkih nul-točaka brojnika i nazivnika,

svođenje na pravu racionalnu funkciju,

rastavljanje na parcijalne razlomke,

rješavanje tri osnovna tipa integrala,

e)

integriranje trigonometrijskih funkcija: izvedite univerzalnu trigonometrijsku supstituciju:

$\displaystyle t$	$\displaystyle =\tan \frac{x}{2},$
$\displaystyle x$	$\displaystyle =2 \arctan t,$
$\displaystyle dx$	$\displaystyle = \frac{2}{1+t^2}dt,$
$\displaystyle \sin x$	$\displaystyle =\frac{2t}{1+t^2},$
$\displaystyle \cos x$	$\displaystyle =\frac{1-t^2}{1+t^2},$
$\displaystyle \tan x$	$\displaystyle =\frac{2t}{1-t^2}.$

Za koje

vrijede gornje formule?

Primjer.

Izvedite supstituciju $t=\tan x$ .

f)

integriranje hiperbolnih funkcija,

g)

integriranje iracionalnih funkcija:

i.

integral

$\displaystyle \int R\left( x, \left( \frac{ax+b}{cx+d} \right)^{\frac{m_1}{n_1}}, \ldots, \left( \frac{ax+b}{cx+d} \right)^{\frac{m_k}{n_k}} \right) dx$

se riješava pomoću supstitucije

$\displaystyle \frac{ax+b}{cx+d}=t^n$

pri čemu je

najmanji zajednički nazivnik od $n_1, \ldots, n_k$ ,

ii.

integral

$\displaystyle \int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})dx$

se rješava pomoću supstitucije

$\displaystyle \frac{2ax+b}{\sqrt{\vert 4ac-b^2\vert}}=t$

nakon čega dobijemo jedan od tri slučaja

$\displaystyle \int R(t,\sqrt{1-t^2}dt$	$\displaystyle =\{ t=\sin z \textrm{ili} \sqrt{1-t^2}=z(1-t) \} = \cdots$
$\displaystyle \int R(t,\sqrt{t^2-1}dt$	$\displaystyle = \{ t=\frac{1}{\sin z} \textrm{ili} \sqrt{t^2-1}=t+z \} = \cdots$
$\displaystyle \int R(t,\sqrt{t^2+1}dt$	$\displaystyle =\{ t=\tan z \textrm{ili} \sqrt{t^2+1}=t+z \} = \cdots$

iii.

metoda neodređenih koeficijenata,

h)

binomni integral:

$\displaystyle \int x^m(a+bx^n)^pdx$	$\displaystyle = (m,n,p\in \mathbb{Q}) =\{x^n=t\}$
	$\displaystyle =\frac{1}{n}\int \left( \frac{a+bt}{t} \right)^p t^{\frac{m+1}{n}+p-1} dt = \cdots$

Kako se provodi i čemu služi postupak integriranja pomoću razvoja u red?