×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 NEODREĐENI INTEGRAL     NEODREĐENI INTEGRAL     Tablica osnovnih integrala

Definicija i osnovna svojstva

Neka je zadana funkcija $f:D\to \mathbb{R}$ . Želimo naći funkciju $F$ koja derivirana daje $f$ , odnosno želimo riješiti jednadžbu

$$F'(x)=f(x),$$

za one $x$ za koje rješenje postoji.

Za sljedeću definiciju potrebno je ponoviti neke definicije. Neka je $a,b\in \mathbb{R}$ , $a<b$ . Interval $I$ je svaki od skupova

$$[a,b],\quad (a,b),\quad (a,b],\quad [a,b),\quad [a,+\infty),$$

$$(a,+\infty),\quad (-\infty,b),\quad (-\infty,b],\quad (-\infty,+\infty)\equiv \mathbb{R}.$$

Nadalje, skup je prebrojiv ako je ekvipotentan sa skupom prirodnih brojeva $\mathbb{N}$ (vidi M1, definicija 1.15).

Definicija 1.1   Neka je zadana funkcija $f:D\to \mathbb{R}$ , neka je $I\subseteq D$ interval i neka je $A\subseteq I$ konačan ili prebrojiv (kraće: diskretan) podskup. Primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ je svaka neprekidna funkcija $F:I\to \mathbb{R}$ takva da je $F'(x)=f(x)$ za $\forall x\in I\setminus A$ .^1.2

Ova definicija i činjenica da je derivacija konstantne funkcije jednaka nuli povlače sljedeći teorem.

Teorem 1.1   Ako je $F(x)$ primitivna funkcija funkcije $f(x)$ na intervalu $I$ , onda je i $F(x)+C$ primitivna funkcija funkcije $f(x)$ na intervalu $I$ za svaku konstantu $C\in\mathbb{R}$ .

Primjer 1.1  

a)

Zadana je funkcija $f(x)=2x$ , $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ . Funkcije

$$F_1(x) =x^2,\qquad F_1:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^0_+\quad i$$

$$F_2(x) =x^2-\frac{1}{3},\qquad F_2(x):\mathbb{R}\to [-\frac{1}{3}, +\infty)$$

su primitivne funkcije od $f$ na $\mathbb{R}$ (vidi sliku 1.1a).

b)

Prema definiciji 1.1, $F_1$ i $F_2$ su i primitivne funkcije od

$$g(x)=\begin{cases}2x,& \text{za $x\neq 1$,}\\ 0,& \text{za $x=1$,} \end{cases}$$

jer možemo uzeti $I=\mathbb{R}$ i $A=\{-1\}$ , odnosno skup $A$ je u ovom slučaju konačan (vidi sliku 1.1b).

c)

$F_1$ i $F_2$ su također primitivne funkcije funkcije

$$h(x)=\begin{cases}2x,& \text{za $x\notin \mathbb{N}$,} 0,& \text{za $x\in \mathbb{N}$,} \end{cases}$$

jer možemo uzeti $I=\mathbb{R}$ i $A=\mathbb{N}$ , pri čemu je skup $A$ prebrojiv.

d)

Neka je

$$f(x)=\begin{cases}2x,& \text{za $-2<x<2$,} x,& \text{za $2\leq x$.} \end{cases}$$

Primitivna funkcija funkcije $f$ je

$$F(x)=\begin{cases}x^2-2,& \text{za $-2<x<2$,} \frac{x^2}{2},& \text{za $2\leq x$.} \end{cases}$$

Konstantu $-2$ u izrazu $x^2-2$ izabrali smo tako da se ispuni uvjet neprekidnosti funkcije $F$ na intervalu $I=(-2,+\infty)$ prema definiciji 1.1. Naravno, i funkcija $F(x)+C$ je primitivna funkcija funkcije $f$ za svaku konstantu $C$ . Nacrtajte funkcije $f$ i $F$ .

Slika 1.1: Primitivna funkcija

Nakon što smo usvojili pojam primitivne funkcije možemo definirati neodređeni integral, no prije toga dokazat ćemo sljedeći teorem.

Teorem 1.2   Ako su $F$ i $G$ dvije primitivne funkcije funkcije $f$ na intervalu $I$ , onda postoji konstanta $C$ takva da je $G(x)=F(x)+C$ .

Dokaz.

Dokažimo teorem za najjednostavniji slučaj kada je $A=\emptyset$ , odnosno kada se radi o striktno primitivnim funkcijama. Pretpostavke teorema povlače

$$G'(x)=F'(x)=f(x),\qquad \forall x\in I,$$

pa je $(G-F)'(x)=0$ , odnosno $(G-F)(x)=C$ za neku konstantu $C$ i za svaki $x\in I$ .

Q.E.D.

Definicija 1.2   Neodređeni integral funkcije $f$ na intervalu $I$ je skup svih primitivnih funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ . Koristimo oznaku

$$\int f(x) dx= F(x) + C, \qquad C\in \mathbb{R},$$

pri čemu je $F$ neka primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ , $x$ je varijabla integracije, a $f$ je podintegralna funkcija ili integrand, a $C$ je konstanta integracije.

Napomenimo da gornju jednakost interpretiramo kao jednakost među funkcijama, odnosno $F(x)$ označava funkciju $F$ , a ne njezinu vrijednost u točki $x$ .

Primjer 1.2   Vrijedi

$$\int dx = x+ C,$$

$$\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C,$$

$$\int e^x dx = e^x + C.$$

Napomena 1.1   Dva uvjeta iz definicije 1.1 zaslužuju dodatno objašnjenje. Uvjet da formula $F'(x)=f(x)$ vrijedi na skupu $I\setminus A$ , a ne na čitavom skupu $I$ , što je slabiji uvjet od onoga što bismo očekivali, proizlazi iz geometrijskog značenja određenog integrala (poglavlje 2). Naime, određeni integral u principu daje površinu između podintegralne funkcije i $x$ -osi, a kako površina ne ovisi o vrijednosti funkcije u prebrojivo točaka, to se i u definiciji neodređenog integrala uzima slabiji uvjet. Drugi uvjet je da se traži neprekidnost funkcije $F$ na čitavom intervalu $I$ i onda kada funkcija $f$ taj uvjet ne ispunjava. Ovaj uvjet proistječe iz fizikalne interpretacije integrala. Naime, brzina je derivacija puta po vremenu (vidi M1, poglavlje 5.1) pa je stoga put integral brzine. No, dok funkcija kojom je zadana brzina može (u idealnim uvjetima) imati prekide, prijeđeni put je uvijek neprekidan. Stoga je i uvjet neprekidnosti primitivne funkcije prirodan.

Slijedeća dva teorema daju nam osnovna svojstva integrala. Prisjetimo se definicije diferencijala funkcije $f$ (vidi M1, poglavlje 5.2):

$$df(x)=f'(x) dx.$$

Prvi teorem navodimo bez dokaza.

Teorem 1.3   Neka je $I$ interval i $A$ njegov diskretan podskup. Neka je $\int f(x) dx= F(x) + C$ , odnosno $F'(x)=f(x)$ za svaki $x\in I\setminus A$ i neka je funkcija $F$ neprekidna na intervalu $I$ . Tada za svaki $x\in I\setminus A$ vrijedi:

(i)

$(\int f(x) dx)'=f(x)$ , odnosno derivacija integrala jednaka je podintegralnoj funkciji. Ovu jednakost također interpretiramo kao jednakost među funkcijama koja vrijedi na skupu $I\setminus A$ .

(ii)

$d (\int f(x) dx)=f(x) dx$ , odnosno diferenciranje poništava integriranje.

(iii)

$\int dF(x)=F(x)+C$ , odnosno integriranje poništava diferenciranje do na konstantu.

Teorem 1.4   Neodređeni integral je linearan, odnosno

$$\int (\alpha_1 f_1(x)+\cdots +\alpha_n f_n(x)) dx= \alpha_1 \int f_1(x) dx+\cdots + \alpha_n \int f_n(x) dx+C.$$

Dokaz.

Neka je $F_i:I\to \mathbb{R}$ primitivna funkcija funkcije $f_i$ za $i=1,\ldots,n$ . To znači da je $(F_i(x))'=f_i(x)$ za svaki $x\in I\setminus A_i$ , pri čemu je $A_i$ diskretan podskup od $I$ , odnosno $\int f_i(x) dx=F_i(x)+C_i$ . Dakle, jednakost

$$\big(\alpha_1F_1(x)+\cdots +\alpha_nF_n(x)\big)'= \alpha_1f_1(x)+\cdots +\alpha_nf_n(x)$$

vrijedi za svaki $x\in I\setminus \bigcup_{i=i}^n A_i$ . Kako je skup $\bigcup_{i=i}^n A_i$ također diskretan, zaključujemo da je funkcija $\alpha_1F_1(x)+\cdots +\alpha_nF_n(x)$ jedna primitivna funkcija funkcije $\alpha_1f_1(x)+\cdots +\alpha_nf_n(x)$ . Stoga vrijedi

$$\int (\alpha_1 f_1(x)+\cdots +\alpha_nf_n(x)) dx = \alpha_1F_1(x)+\cdots +\alpha_nF_n(x)+K$$

$$=\alpha_1(\int f_1(x) dx-C_1)+\cdots$$

$$\quad + \alpha_n(\int f_n(x) dx-C_n) +K$$

$$= \alpha_1 \int f_1(x) dx+\cdots + \alpha_n \int f_n(x) dx+C,$$

gdje je $C=K-\alpha_1C_1-\cdots -\alpha_n C_n$ .     

Q.E.D.

Poglavlja

• Tablica osnovnih integrala

NEODREĐENI INTEGRAL     NEODREĐENI INTEGRAL     Tablica osnovnih integrala