×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Integriranje reda funkcija     NEODREĐENI INTEGRAL     ODREĐENI INTEGRAL

Slobodan pad uz otpor zraka

Korištenjem integralnog računa iz ove glave i diferencijalnog računa (vidi M1, poglavlje 5), možemo rješavati razne probleme u fizici i tehnici, ili općenito prirodi, što je i svrha integralnog i diferencijalnog računa. U ovom poglavlju iskoristit ćemo do sada naučeno za rješavanje problema slobodnog pada.

Ako pretpostavimo da je prilikom slobodnog pada otpor zraka proporcionalan kvadratu brzine, onda prema drugom Newtonovom zakonu vrijedi

$$ma=mg-kv^2,$$

pri čemu je $m$ masa tijela koje pada, $a$ ubrzanje, $g$ gravitacija, $k$ koeficijent trenja i $v$ brzina.

Izvest ćemo formulu za brzinu $v$ u ovisnosti o prijeđenom putu $s$ , $v(s)$ (vidi sliku 1.2 za $m=k$ ).

Slika 1.2: Slobodan pad uz otpor zraka za $m=k$

Iz Newtonove formule slijedi

$$a=\frac{k}{m} \bigg(\frac{mg}{k}-v^2\bigg).$$ (1.9)

Kako je ubrzanje derivacija brzine po vremenu, a brzina derivacija puta po vremenu, možemo pisati

$$a=\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dt}\cdot \frac{ds}{ds}= \frac{dv}{ds}\cdot \frac{ds}{dt}=v \frac{dv}{ds}.$$

Kombinirajući dvije prethodne formule uz oznaku $\alpha=mg/k$ imamo

$$\frac{v}{\alpha -v^2} dv= \frac{k}{m} ds.$$

Integriranje obiju strana daje

$$\int \frac{v}{\alpha -v^2} dv= \frac{k}{m} \int ds = \frac{k}{m} s+C.$$

Integral na lijevoj strani riješimo supstitucijom $\alpha -v^2=u$ , pa je

$$-\frac{1}{2} \ln \vert\alpha-v^2\vert=\frac{k}{m} s+C.$$

Iz formule (1.9) i činjenice da je ubrzanje pozitivno slijedi $\alpha-v^2> 0$ , odnosno $\ln \vert\alpha-v^2\vert=\ln (\alpha-v^2)$ . Dalje, potrebno je odrediti konstantu $C$ . Pretpostavili smo da gibanje kreće iz ishodišta koordinatnog sustava (slika 1.2), odnosno $v(0)=0$ , pa uvrštavanje u prethodnu formulu daje

$$C=-\frac{1}{2} \ln \alpha.$$

Dakle,

$$\ln (\alpha-v^2)=-2\frac{k}{m} s + \ln \alpha.$$

Svojstvo logaritma (vidi M1, poglavlje 4.6.4) daje

$$\ln \frac{\alpha-v^2}{\alpha}=-2\frac{k}{m} s,$$

pa eksponenciranje daje

$$\frac{\alpha-v^2}{\alpha}=e^{-2\frac{k}{m} s}.$$

Rješavanje ove jednadžbe po $v$ , koristeći pri tome definiciju od $\alpha$ i činjenicu da je $v\geq 0$ , konačno daje

$$v(s)=\sqrt{\frac{mg}{k}\bigg(1-e^{-2\frac{k}{m} s}\bigg)}, \qquad s\geq 0.$$

Vidimo kako se brzina ne može beskonačno povećavati jer je

$$v_{\infty}=\lim_{s\to \infty} \sqrt{\frac{mg}{k}\bigg(1-e^{-2\frac{k}{m} s}\bigg)} =\sqrt{\frac{mg}{k}}.$$

Isto smo mogli zaključiti i direktno iz formule (1.9) jer za tu vrijednost brzine ubrzanje iščezava.

Pogledajmo što se dogodi kada nema otpora zraka, odnosno za $k=0$ . Uvrštavanje daje neodređeni oblik, $v_{k=0}(s)=\sqrt{(1-1)/0}$ . Svojstvo neprekidnih funkcija (vidi M1, teorem 4.7) - u ovom slučaju drugi korijen - i L'Hospitalovo pravilo (vidi M1, poglavlje 5.5.3) daju poznatu formulu

$$v_{k=0}(s) = \lim_{k\to 0} \sqrt{\frac{mg}{k}\bigg(1-e^{-2\frac{k}{m} s}\bigg)} = \sqrt{\lim_{k\to 0}\frac{mg}{k}\bigg(1-e^{-2\frac{k}{m} s}\bigg)}$$

$$= \sqrt{\lim_{k\to 0}\frac{mg}{1}\bigg(0-e^{-2\frac{k}{m} s}(\big(-2\frac{s}{m}\big) \bigg)}$$

$$= \sqrt{2gs}.$$

Integralni račun se također koristiti i kod izvođenja formule za put u ovisnosti o vremenu. Drugačijim pristupom, čiji izvod preskačemo, dobije se formula za brzinu kao funkciju vremena

$$v(t)=\alpha \mathop{\mathrm{th}}\nolimits (\beta t), \qquad t\geq 0,$$

gdje je $\alpha=\sqrt{mg/k}$ i $\beta=\sqrt{gk/m}$ . Put kao funkcija vremena je integral brzine:

$$s(t) =\int \alpha \mathop{\mathrm{th}}\nolimits (\beta t) dt =\al... ...&=u \beta \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits (\beta t)&=du \end{aligned}\right\}$$

$$=\frac{\alpha}{\beta} \int \frac{ du}{u}= \frac{\alpha}{\beta}\... ...t u\vert=\frac{\alpha}{\beta}\ln (\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits (\beta t))+C.$$

U zadnjoj jednakosti koristi se činjenica da je kosinus hiperbolni uvijek veći ili jednak jedan. Konstanta $C$ odredi se iz početnog uvjeta $s(0)=0$ :

$$0=\frac{\alpha}{\beta}\ln (\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits 0)+C=\frac{\alpha}{\beta}\ln 1 +C=C.$$

Dakle,

$$s(t)=\frac{\alpha}{\beta}\ln (\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits (\bet... ...mathrm{ch}}\nolimits \big(\sqrt{\frac{kg}{m}} t\big)\bigg), \qquad t\geq 0.$$

Integriranje reda funkcija     NEODREĐENI INTEGRAL     ODREĐENI INTEGRAL