×   HOME
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika2
Polje smjerova     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Ortogonalne i izogonalne trajektorije


Eulerova metoda

Eulerova metoda je metoda za numeričko rješavanje diferencijalne jednadžbe prvog reda oblika

$\displaystyle y'=F(x,y),\qquad y(x_0)=y_0. $

Želimo izračunati približnu vrijednost funkcije $ y$ u nekim točkama.

Metoda se temelji na aproksimaciji funkcije $ y$ pomoću prvog člana Taylorovog reda (vidi [*]M1, teorem 6.17):

$\displaystyle y(x+\Delta x)\approx y(x)+y'(x) \Delta x. $

Metoda se sastoji u sljedećem: za odabrani prirast $ \Delta x$ definiramo niz točaka

$\displaystyle x_0,\quad x_1=x_0+\Delta x,\quad x_2=x_1+\Delta x,\quad x_3=x_2+\Delta x,\ldots, $

U točki $ (x_0,y_0)$ derivacija funkcije $ y$ je $ y'=F(x_0,y_0)$ pa Taylorova formula povlači

$\displaystyle y(x_1)\equiv y_1=y_0+\Delta x F(x_0,y_0). $

Slično, vrijedi

$\displaystyle y_2$ $\displaystyle =y_1+\Delta x F(x_1,y_1),$    
$\displaystyle y_3$ $\displaystyle =y_2+\Delta x F(x_2,y_2),$    
  $\displaystyle \cdots$    

pa je, za zadanu točku $ (x_0,y_0)$ , Eulerova metoda definirana rekurzivnom formulom

$\displaystyle y_n=y_{n-1}+\Delta x F(x_{n-1},y_{n-1}),\qquad n=1,2,\ldots $

Primjer 5.11   Za diferencijalnu jednadžbu strujnog kruga iz primjera 5.2,

$\displaystyle \frac{dI}{dt}=\frac{E-R I}{L}, \qquad L=4 \mathrm{H},\quad R=12 \mathrm{Ohm},\quad E=60 \mathrm{V},$ (5.1)

uz početni uvjet $ I(0)=0$ i korak $ \Delta t = 0.2 \mathrm{s}$ Eulerova metoda daje

$\displaystyle I(0)$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle I(0.2)$ $\displaystyle =I(0)+0.2 (15 - 3\cdot I(0)) = 0+0.2 (15-3\cdot 0 ) = 3$    
$\displaystyle I(0.4)$ $\displaystyle =I(0.2)+0.2 (15 - 3\cdot I(0.2)) = 3+0.2 (15-3\cdot 3 ) = 4.2$    
$\displaystyle I(0.6)$ $\displaystyle = 4.2+0.2 (15-3\cdot 4.2 ) = 4.68$    
$\displaystyle I(0.8)$ $\displaystyle = 4.68+0.2 (15-3\cdot 4.68 ) = 4.872$    
$\displaystyle I(1)$ $\displaystyle = 4.872+0.2 (15-3\cdot 4.872 ) = 4.9488.$    

Za korak od $ \Delta t = 0.1 \mathrm{s}$ imamo redom

$\displaystyle I(0)$ $\displaystyle =0,$    
$\displaystyle I(0.1)$ $\displaystyle =1.5,$    
$\displaystyle I(0.2)$ $\displaystyle =2.55,$    
$\displaystyle I(0.3)$ $\displaystyle =3.285,$    
$\displaystyle I(0.4)$ $\displaystyle =3.79950,$    
$\displaystyle I(0.5)$ $\displaystyle =4.15965,$    
$\displaystyle I(0.6)$ $\displaystyle =4.41176,$    
$\displaystyle I(0.7)$ $\displaystyle =4.58823,$    
$\displaystyle I(0.8)$ $\displaystyle =4.71176,$    
$\displaystyle I(0.9)$ $\displaystyle =4.79823,$    
$\displaystyle I(1)$ $\displaystyle = 4.85876.$    

Sljedeći Matlab program računa i crta rješenje diferencijalne jednadžbe (5.1):

Octave On-line

     


[Octave On-line Home]    [Octave User's Guide]

Vidimo da Eulerova metoda stalno griješi, no očekujemo da će za dovoljno male korake rješenje biti točnije. Na slici 5.9 prikazana su rješenja jednadžbe (5.1) za korake $ \Delta t = 0.2 \mathrm{s}$ , $ \Delta t = 0.1 \mathrm{s}$ , $ \Delta t = 0.01 \mathrm{s}$ i točno rješenje $ I(t)=5-5 e^{3t}$ .

Slika 5.9: Eulerova metoda
\begin{figure}\centering \epsfig{file=slike/eulr.eps,width=7.2cm} \end{figure}

Zadatak 5.6   Izračunajte i skicirajte približno rješenje diferencijalne jednadžbe

$\displaystyle y'=y-e^{-x},\qquad y(0)=-1 $

na intervalu $ [0,1]$ uz korake $ \Delta x=0.2$ i $ \Delta x=0.1$ .

Polje smjerova     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Ortogonalne i izogonalne trajektorije