×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Jednadžbe sa separiranim varijablama     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Eulerova metoda


Polje smjerova

Ako je funkcija $ y=f(x)$ rješenje diferencijalne jednadžbe prvog reda

$\displaystyle y'=F(x,y),
$

koje prolazi nekom točkom $ (x_0,y_0)$ , onda je smjer tangente na krivulju $ y=f(x)$ u točki $ (x_0,y_0)$ dan upravo s $ F(x_0,y_0)$ . Kako se svaka funkcija o okolini zadane točke ponaša kao tangenta (vidi [*]M1, poglavlje 5.1.1), tako se i rješenje $ y=f(x)$ u okolini točke $ (x_0,y_0)$ ponaša približno slično kao pravac koji prolazi kroz točku $ (x_0,y_0)$ i ima koeficijent smjera $ F(x_0,y_0)$ .

Temeljem ovog razmatranja možemo napraviti sljedeće:

Na taj način dobili smo polje smjerova (polje izoklina) diferencijalne jednadžbe $ y'=F(x,y)$ . Polje smjerova nam najčešće daje dobru ideju o izgledu rješenja - krenemo li od početnog uvjeta, možemo skicirati krivulju $ y=f(x)$ koristeći svojstvo da nam u svakoj točki nacrtani segment daje smjer kretanja krivulje.

Na slici 5.7 prikazana su polja smjerova za diferencijalne jednadžbe $ y'=x+y$ i $ y'=x^2+y^2-1$ .

Slika: Polje smjerova za jednadžbe a) $ y'=x+y$ i b) $ y'=x^2+y^2-1$
\begin{figure}\centering
\begin{tabular}{cc}
\epsfig{file=slike/pols1a.eps,wi...
...psfig{file=slike/pols1b.eps,width=5.8cm} \\
a) & b)
\end{tabular}
\end{figure}

Slika 5.7 (b) nacrtana je pomoću sljedećeg Matlab programa:

Octave On-line

     


[Octave On-line Home]    [Octave User's Guide]

Primjer 5.10   Polje smjerova logističke jednadžbe iz primjera 5.6,

$\displaystyle \frac{dP}{dt}=0.07 P  \left(1-\frac{P}{1000}\right),
$

zajedno s rješenjima za početne uvjete $ P(0)=100$ i $ P(0)=1500$ prikazano je na slici 5.8.

Slika: Polje smjerova logističke jednadžbe
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/polslj.eps, width=10cm}
\end{figure}

Zadatak 5.5   Za sljedeće diferencijalne jednadžbe skicirajte polje smjerova na području $ [-2,2]\times [-3,3]$ i rješenja koja prolaze točkama $ (0,0)$ , $ (0,1)$ i $ (0,-1)$ :

$\displaystyle y'$ $\displaystyle =y-e^{-x},$    
$\displaystyle y'$ $\displaystyle =2y(y-2),$    
$\displaystyle y'$ $\displaystyle =xy+y^2.$    


Jednadžbe sa separiranim varijablama     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Eulerova metoda