Plohe drugog reda

Ploha drugog reda je skup svih točaka trodimenzionalnog prostora koje zadovoljavaju jednadžbu drugog stupnja (ili reda):

$\displaystyle Ax^2 +By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0,$

pri čemu je barem jedan od koeficijenata^3.2 $A,B,C,D,E \textrm{i} F$ različit od nule, odnosno u formuli postoji barem jedan netrivijalni nelinerani član. Na primjer, jednadžba sfere (kugline plohe) polumjera

sa središtem u točki

dana je s:

$\displaystyle (x-x_0)^2 +(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2.$

Ovom formulom su zadane dvije funkcije dvije varijable:

$\begin{displaymath}\begin{split}& z=f_1(x,y)=z_0+\sqrt{r^2-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2} ... ... & z=f_2(x,y)=z_0-\sqrt{r^2-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2}. \end{split}\end{displaymath}$

Nivo-krivulje (konture) sfere (presjeci s ravninama paralelnim s

-ravninom) i presjeci s ravninama paralelnim s

- i

-ravninama su kružnice.^3.3

Nadalje,

$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+ \frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1$

je jednadžba elipsoida čije su glavne osi paralne s koordinatnim osima $x, y \textrm{i} z$ , a duljine poluosi su $a,b \textrm{i} c$ redom. Na slikci 3.12 prikazan je elipsoid

**Slika 3.12:** Elipsoid

Nivo-krivulje elipsoida kao i presjeci s ravninama paralelnim s - i -ravninama su elipse.

Zadatak 3.2 Za elipsoid iz slike 3.12 nacrtajte nivo-krivulju za

i presjek s ravninama

Elipsoid na slici možemo definirati i parametarski kao skup točaka:

$\displaystyle E$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \{(x,y,z): x=6 \cos t \cos u, y=4 \sin t \cos u, z=2\sin u,$
		$\displaystyle t\in \{0,2\pi \}, u\in \{-\pi /2, \pi/2\} \}.$

Elipsoid na slici 3.12 nacrtan je upravo koristeći parametarski prikaz.

Poglavlja

Neprekidnost FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA Eliptički paraboloid