×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Problem najmanjih kvadrata s     METODA NAJMANJIH KVADRATA I     QR rastav vektora i


QR rastav

U ovom poglavlju dat ćemo definiciju QR rastava (QR dekompozicije) te njegova osnovna svojstva i opisati primjenu na rješavanje problema najmanjih kvadrata. Slično kao u prethodnom poglavlju, ograničit ćemo se na slučaj kada je zadana matrica $ A$ tipa $ m\times n$ , gdje je $ m\geq n$ . QR rastav je također podloga za metode koje računaju svojstvene vrijednosti i vektore.

Definicija 6.1   Neka je $ A$ tipa $ m\times n$ , $ m\geq n$ . QR rastav matrice $ A$ glasi

$\displaystyle A=QR,
$

pri čemu je $ Q$ ortonormirana matrica dimenzije $ m\times m$ , odnosno

$\displaystyle Q^TQ=Q Q^T=I,
$

a $ R$ je $ m\times n$ gornje trokutasta matrica. Ortonormiranu matricu kraće zovemo i ortogonalna matrica.

Ako je, na primjer, matrica $ A$ tipa $ 5\times 3$ , onda rastav $ A=QR$ možemo shematski prikazati na sljedeći način:

$\displaystyle \begin{bmatrix}\times & \times & \times  \times & \times & \tim...
... 0 & \times & \times  0 & 0 & \times  0 & 0 & 0  0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ (6.2)

Korištenje QR rastava za rješavanje problema najmanjih kvadrata temelji se na sljedećem važnom svojstvu ortogonalne matrice: za svaki vektor $ \mathbf{x}$ dimenzije $ m\times 1$ vrijedi

$\displaystyle \Vert \mathbf{x} \Vert=\Vert Q\mathbf{x}\Vert.$ (6.3)

Zaista,

$\displaystyle \Vert Q\mathbf{x}\Vert^2= (Q\mathbf{x})^T Q\mathbf{x} = \mathbf{x}^TQ^T Q \mathbf{x}= \mathbf{x}^T \mathbf{x} = \Vert \mathbf{x}\Vert^2.
$

Slično je i $ \Vert Q^T\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert$ .

Osnovna svojstava QR rastava su sljedeća:

QR1.
QR rastav je jedinstven do na predznake stupaca matrice $ Q$ i predznake redaka matrice $ R$ .

Neka je $ J$ dijagonalna matrica reda $ m$ s dijagonalnim elementima $ J_{ii}\in\{-1,1\}$ . Matrica $ J$ je očito simetrična i ortogonalna. Ako je $ \bar Q=QJ$ i $ \bar R=JR$ , onda je

$\displaystyle \bar Q \bar R = QJJR=QR=A
$

također QR rastav matrice $ A$ .

QR2.
Vrijedi $ \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A) = \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (R)$ .

QR3.
Posebno, ako je $ \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits A=n$ , onda su zbog svojstva QR2 svi dijagonalni elementi matrice $ R$ različiti od nule,

$\displaystyle r_{ii}\neq 0, \qquad i=1,\ldots, n.
$

Zadatak 6.4   Naredba za računanje QR rastava matrice $ A$ u programskom jeziku Matlab glasi [Q,R]=qr(A). Izračunajte rastav matrice $ A$ iz primjera 6.2 i provjerite da ja zaista $ A-QR=0$ te da je matrica $ Q$ ortogonalna.



Octave On-line

     


[Octave On-line Home]    [Octave User's Guide]


Poglavlja


Problem najmanjih kvadrata s     METODA NAJMANJIH KVADRATA I     QR rastav vektora i