×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Metoda varijacije konstanti     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Sustav lovac-plijen


Sustavi diferencijalnih jednadžbi

a)
Riješite sustav difrencijalnih jednadžbi

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$ $\displaystyle = y+1$    
$\displaystyle \frac{dy}{dt}$ $\displaystyle = x+1.$    

b)
Odredite ono rješenje sustava

$\displaystyle \frac{dx}{dt}+3x+y$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle \frac{dy}{dt}-x+y$ $\displaystyle =0$    

koje zadovoljava početne uvjete $ \displaystyle x(0)=1$ i $ \displaystyle y(0)=1$ .

c)
Odredite opće rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi

$\displaystyle \frac{dx}{dt}$ $\displaystyle = 3-2y$    
$\displaystyle \frac{dy}{dt}$ $\displaystyle = 2x-2t.$    

Rješenje.

a)
Funkcije $ \displaystyle x(t)$ i $ \displaystyle y(t)$ odredit ćemo na način da najprije iz prve jednadžbe sustava izrazimo jednu funkciju, na primjer,

$\displaystyle y=\frac{dx}{dt}-1.$ (5.8)

Deriviranje ove jednadžbe po varijabli $ \displaystyle t$ daje $ \displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}$ . Uvrštavanje $ \frac{dy}{dt}$ (i $ y$ , ako treba) u drugu jednadžbu daje diferencijalnu jednadžbu drugog reda za funkciju $ x(t)$ :

$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}-x=1.$ (5.9)

U ovm slučaju dobili smo linearna nehomogena diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima, koju riješavamo kao i u prethodnim primjerima: rješenja pripadne karakteristične jednadžbe su $ \displaystyle \lambda _{1,2}=\pm 1$ pa je rješenje homogene diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle x_H(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}$ . Budući je desna strana nehomogene jednadžbe (5.9) polinom nultog stupnja, iz (5.7) zaključujemo da je partikularno rješenje također polinom nultog stupnja, odnosno, $ \displaystyle x_P(t)=A$ . Uvrštavanjem $ \displaystyle x_P$ u (5.9) slijedi $ \displaystyle A=-1$ pa opće rješenje jednadžbe (5.9) glasi

$\displaystyle \displaystyle x(t)=C_1e^t+C_2e^{-t}-1.
$

Konačno, uvrštavanje $ x(t)$ u jednadžbu (5.8) daje

$\displaystyle \displaystyle y(t)=C_1e^t-C_2e^{-t}-1.$

b)
Primjenit ćemo isti postupak kao u prethodnom zadatku. Iz prve jednadžbe sustava slijedi

$\displaystyle y=-\frac{dx}{dt}-3x$ (5.10)

i

$\displaystyle \displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac{d^2x}{dt^2}-3\frac{dx}{dt}.$

Uvrštavanjem $ y$ i $ \displaystyle \frac{dy}{dt}$ u drugu jednadžbu dobivamo jednadžbu

$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+4\frac{dx}{dt}+4x=0$ (5.11)

čije rješenje glasi

$\displaystyle \displaystyle
x(t)=C_1e^{-2t}+C_2te^{-2t}.
$

Uvrštavanje (5.10) i dobivenog rješenja $ \displaystyle x(t)$ u drugu jednadžbu zadanog sustava daje

$\displaystyle \displaystyle
y(t)=-C_1e^{-2t}-C_2e^{-2t}-C_2te^{-2t}.$

Iskoristimo sada zadane početne uvjete. Iz uvjeta $ \displaystyle x(0)=1$ slijedi $ C_1=1$ , a iz uvjeta $ \displaystyle y(0)=1$ slijedi $ \displaystyle C_2=-2$ . Dakle, rješenje diferencijalne jednadžbe koje zadovoljava zadane dane početne uvjete je

$\displaystyle \displaystyle x(t)=(1-2t)e^{-2t},\quad \displaystyle y(t)=(1+2t)e^{-2t}.
$

c)
Postupkom kao u prethodna dva primjera iz prve jednadžbe sustava slijedi

$\displaystyle \displaystyle y(t)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{dx}{dt}+\frac{3}{2},\quad
\displaystyle \frac{dy}{dt}=-\frac{1}{2} \cdot \frac{d^2x}{dt^2}.
$

Uvrštavanjem u drugu jednadžbu sustava dobivamo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda s konstantnim koeficijentima

$\displaystyle \displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}+4x=4t.$

Rješenje pripadne homogene diferencijalne jednadžbe je $ \displaystyle x_H(t)=C_1\cos 2t+C_2\sin 2t$ . Metodom neodređenih koeficijenata ili metodom varijacije konstanti jednostavno se pokazuje da je opće rješenje za funkciju $ \displaystyle x(t)$ dano s

$\displaystyle \displaystyle x(t)=C_1\cos (2t)+C_2\sin (2t)+t.$

Uvrštavanjem dobivenog rješenja natrag u prvu jednadžbu sustava slijedi

$\displaystyle \displaystyle y(t)=C_1\sin (2t)-C_2\cos (2t)+1.$


Metoda varijacije konstanti     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Sustav lovac-plijen