×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Princip superpozicije rješenja     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Sustavi diferencijalnih jednadžbi


Metoda varijacije konstanti

Metodom varijacije konstanti odredite opća rješenja diferencijalnih jednadžbi

a)
$ \displaystyle y^{\prime \prime}+y=\frac{1}{\sin x}$ , te provjerite linearnu nezavisnost rješenja pripadne homogene jednadžbe,
b)
$ \displaystyle y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+y=\frac{e^x}{x}$ ,
c)
$ \displaystyle y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime
\prime}=\frac{x-1}{x^2}$ .

Rješenja.

a)
Odredimo najprije rješenje pripadne homogene diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime \prime}+y=0$ . Njena karakteristična jednadžba $ \displaystyle \lambda ^2+1=0$ ima rješenja $ \displaystyle \lambda _{1,2}=\pm i$ pa je rješenje homogene diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y_H(x)=C_1\cos x+C_2\sin x$ . Prema [*][M2, poglavlje 5.10], partikularno rješenje zadane jednadžbe ima oblik

$\displaystyle \displaystyle y_P(x)=C_1(x)\cos x+C_2(x)\sin x,$

pri čemu funkcije $ \displaystyle C_1(x)$ i $ \displaystyle C_2(x)$ zadovoljavaju sustav jednadžbi:

$\displaystyle C_1^{\prime}(x)\cos x+C_2^{\prime}(x)\sin x$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle -C_1^{\prime}(x)\sin x+C_2^{\prime}(x)\cos x$ $\displaystyle = \frac{1}{\sin x}.$    

Množenje prve jednadžbe s $ \cos x$ i druge jednadžbe sa $ \sin x$ te oduzimanje druge jednadžbe od prve daje $ C_1'(x)=-1$ pa je $ C_1(x)=-x+A$ .

Množenje prve jednadžbe sa $ \sin x$ i druge jednadžbe s $ \cos x$ te zbrajanje jednadžbi daje $ C_2'(x)=\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ , pa je $ C_2(x)=\ln \vert\sin x\vert + B$ .

U prethodnim formulama možemo uzeti $ A=0$ i $ B=0$ pa opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi

$\displaystyle \displaystyle y(x)=C_1\sin x+C_2\cos x-x\cos x+\sin x\cdot \ln \vert\sin x\vert.
$

Linearnu nezavisnost rješenja homogene jednadžbe, $ \displaystyle y_1(x)=\cos x$ i $ \displaystyle y_2(x)=\sin x$ , provjerit ćemo računanjem determinante Wronskog prema [*][M2, poglavlje 5.10]:

$\displaystyle W(x)=\left\vert\begin{array}{cc} \cos x & \sin x -\sin x & \cos x \end{array}\right\vert= \cos ^2x+\sin ^2x=1\neq 0.$    

Zaključujemo da su rješenja homogene jednadžbe linearno nezavisna.

b)
Pripadna homogena diferencijalna jednadžba glasi $ \displaystyle y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+y=0$ . Rješenja njene karakteristične jednadžbe $ \displaystyle \lambda ^2-2\lambda +1=0$ su $ \displaystyle \lambda _{1,2}=1$ pa zaključujemo da je rješenje homogene jednadžbe $ \displaystyle y_H(x)=C_1e^x+C_2xe^x$ . Partikularno rješenje ima oblik $ \displaystyle y(x)=C_1(x)e^x+C_2(x)xe^x$ pri čemu funkcije $ \displaystyle C_1(x)$ i $ \displaystyle C_2(x)$ zadovoljavaju sustav jednadžbi:

$\displaystyle C_1^{\prime}(x)e^x+C_2^{\prime}(x)xe^x$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle C_1^{\prime}(x)e^x+C_2^{\prime}(x)(e^x+xe^x)$ $\displaystyle = \frac{e^x}{x}.$    

Slijedi $ C_2'(x)=\frac{1}{x}$ i $ C_1'(x)=-1$ pa je $ C_1(x)=-x+A$ i $ C_2(x)=\ln
\vert x\vert+B$ . Uz $ A=B=0$ , rješenje zadane jednadžbe glasi

$\displaystyle \displaystyle y(x)=C_1e^x+C_2xe^x+xe^x\ln \vert x\vert.$

c)
Kao u prethodna dva zadatka, riješit ćemo najprije pripadnu homogenu diferencijalnu jednadžbu. Karakteristična jednadžba glasi $ \displaystyle \lambda ^3+\lambda ^2=0$ , a njena rješenja su $ \displaystyle \lambda _{1,2}=0$ , $ \displaystyle \lambda _3=-1$ . Prema [M2, poglavlje 5.10], rješenje homogene diferencijalne jednadžbe glasi

$\displaystyle \displaystyle
y_H(x)=C_1+xC_2+e^{-x}C_3.$

Stoga partikularno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe ima oblik

$\displaystyle \displaystyle
y_P(x)=C_1(x)+xC_2(x)+e^{-x}C_3(x),
$

pri čemu $ \displaystyle C_1(x)$ , $ C_2(x)$ i $ C_3(x)$ zadovoljavaju sustav jednadžbi:

$\displaystyle C_1^{\prime}(x)+xC_2^{\prime}(x)+C_3^{\prime}(x)e^{-x}$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle C_2^{\prime}(x)-C_3^{\prime}(x)e^{-x}$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle C_3^{\prime}(x)e^{-x}$ $\displaystyle = \frac{x-1}{x^2}.$    

Rješavanjem sustava dobivamo

$\displaystyle C_1(x)=-\frac{1}{x}-x+A,\quad
C_2(x)=\ln \vert x\vert+\frac{1}{x}+B,\quad C_3(x)=\frac{1}{x}e^x+C,
$

pa, uz $ A=B=C=0$ , opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi

$\displaystyle y(x)=y_H(x)+y_P(x)=C_1+C_2x+C_3 e^{-x}+x\ln \vert x\vert.
$


Princip superpozicije rješenja     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Sustavi diferencijalnih jednadžbi