×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Integrali ovisni o parametru     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Nužni i dovoljni uvjeti


Varijacijski račun

U ovom poglavlju objasnit ćemo osnove varijacijskog računa (ili računa varijacija), metode koja služi za modeliranje i rješavanje važnih matematičkih, fizikalnih i inženjerskih problema.

Problemi varijacijskog računa svode se na diferencijalne jednadžbe. Za bolje razumijevanje izlaganja u ovom poglavlju potrebno je poznavati neke tehnike za rješavanje diferencijalnih jednadžbi iz glave 5, no gradivo je izloženo na način da je ta potreba svedena na minimum.

Izrazom

$\displaystyle % begin{equation}\label{eq:var1}
I(y)=\int\limits _a^b F(x,y,y')  dx,
$

gdje je $ y=y(x)$ neka neprekidno derivabilna funkcija i $ a,b\in \mathbb{R}$ , definirana je funkcija $ I$ funkcije $ y(x)$ koja svakoj neprekidno derivabilnoj funkciji pridružuje vrijednost integrala $ I$ . Funkcija (integral) $ I$ se zove funkcional.

Primjer 4.18   Promotrimo funkcional

$\displaystyle I(y)=\int\limits _0^1 (y+x  y')  dx.
$

Za $ y=x$ je

$\displaystyle I=\int\limits _0^1 (x+x\cdot 1)  dx=2  \frac{x^2}{2}   \bigg\vert _0^1 = 1,
$

za $ y=2  x^2$ je

$\displaystyle I=\int\limits _0^1 (2 x^2+x\cdot 4 x)  dx=6  \frac{x^3}{3}   \bigg\vert _0^1 = 2,
$

a za $ y=e^x$ je

$\displaystyle I=\int\limits _0^1 (e^x+x  e^x)  dx= (e^x + x  e^x -e^x ) \bigg\vert _0^1 = e.
$

Zadatak je naći neprekidno derivabilnu funkciju $ y$ za koju funkcional $ I(y)$ dostiže ekstremnu vrijednost (ako takva funkcija postoji). Moguće je zahtijevati da funkcija $ y$ zadovoljava i jedan ili oba rubna uvjeta:

$\displaystyle y(a)=A, \qquad y(b)=B, \qquad A,B\in\mathbb{R}.
$

Primjer 4.19   Problem najkraćeg puta glasi: naći najkraći put između točaka $ A=(x_0,y_0)$ i $ B=(x_1,y_1)$ (vidi sliku 4.15). Prema poglavlju 2.6.2 duljina puta od točke $ A$ do točke $ B$ je

$\displaystyle S=\int\limits _{x_0}^{x_1} \sqrt{1+y^{\prime 2}}  dx
$

pa je rješenje zadatka krivulja $ y=y(x)$ koja minimizira funkcional

$\displaystyle I(y)=\int\limits _{x_0}^{x_1} \sqrt{1+y^{\prime 2}}  dx,
$

a vrijednost funkcionala za tu krivulju daje duljinu najkraćeg puta.

Slika: Problem najkraćeg puta
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/var1.eps,width=6.6cm}
\end{center}\end{figure}

Primjer 4.20   Problem najkraćeg vremena glasi: odredite krivulju po kojoj će teška materijalna točka ispuštena iz ishodišta kližući se bez trenja najbrže stići u točku $ A=(a,b)$ (vidi sliku 4.16). Takva krivulja zove se brahistohrona.4.7

Slika 4.16: Problem brahistohrone
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/var2.eps,width=6.6cm}
\end{center}\end{figure}

Neka su $ (x(t),y(t))$ koordinate materijalne točke u trenutku $ t$ . Neka je $ s$ prijeđeni put, $ v$ brzina i $ m$ masa materijalne točke. Konstantu gravitacije označit ćemo s $ g$ . Prema zakonu o očuvanju energije vrijedi

$\displaystyle \frac{1}{2}  m   v^2 -m  g  x=0,
$

odnosno,

$\displaystyle v=\sqrt{2  g  x}.
$

S druge strane je $ v=ds/  dt$ pa nakon uvrštavanja i sređivanja imamo

$\displaystyle dt=\frac{ds}{\sqrt{2  g  x}}.
$

Prema poglavlju 2.6.2 element duljine luka jednak je $ ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}  dx$ pa je

$\displaystyle dt=\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{2  g  x}}  dx.
$

Integral daje ukupno vrijeme spuštanja:

$\displaystyle t=t(y)=\frac{1}{\sqrt{2  g}} \int\limits _0^a \sqrt{\frac{1+y^{\prime
2}}{x}}  dx.
$

Dakle, brahistohrona je krivulja koja minimizira funkcional $ t(y)$ .


Poglavlja


Integrali ovisni o parametru     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Nužni i dovoljni uvjeti