×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Duljina luka ravninske krivulje     Primjene određenog integrala     Oplošje rotacijskog tijela

Volumen rotacijskog tijela

Rotacijska ploha je ploha koja nastaje rotiranjem neke krivulje oko zadane osi. Rotacijsko tijelo je tijelo omeđeno tom plohom i bazama (vidi sliku slika 2.22). Promotrimo slučaj kada rotacijsko tijelo nastaje rotiranjem krivulje $y=f(x)$ oko $x$ -osi. U tom slučaju volumen (obujam) nastalog tijela od točke $x=a$ do točke $x=b$ računamo kao beskonačnu (integralnu) sumu beskonačno malih elemenata volumena. Element volumena $dV$ je volumen cilindra visine $dx$ i radijusa baze $y=f(x)$ (slika 2.22), odnosno

$$dV = \pi y^2 dx,$$

pa se volumen rotacijskog tijela računa formulom

$$V=\int\limits _{[a,b]} dV =\pi \int\limits _a^b y^2 dx,$$ (2.6)

pri čemu je $dx$ nenegativan.

Slika 2.22: Volumen rotacijskog tijela i element volumena

Primjer 2.16  

a)

Kugla polumjera $r$ sa središtem u ishodištu nastaje rotiranjem polukružnice $y=\sqrt{r^2-x^2}$ oko $x$ -osi. Stoga je volumen kugle jednak

$$V=\pi \int\limits _{-r}^r (r^2-x^2) dx=\pi \bigg(r^2x-\frac{x^3}{3}\bigg) \bigg\vert _{-r}^r = \frac{4}{3} r^3 \pi.$$

b)

Stožac visine $h$ i radijusa baze $r$ nastaje rotiranjem pravca $y=\frac{r}{h} x$ oko $x$ -osi za $x\in[0,h]$ pa je njegov volumen jednak dobro poznatoj formuli

$$V= \pi \int\limits _0^h \bigg(\frac{r}{h}x\bigg)^2 dx = \pi ... ...{r^2}{h^2} \cdot \frac{x^3}{3} \bigg\vert _0^h = \frac{1}{3} \pi r^2 h.$$

Za parametarski zadanu krivulju

$$x=\varphi (t),\qquad y=\psi(t), \qquad t\in \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R},$$

uvrštavanje u formulu (2.6) daje

$$V=\pi\int\limits _{t_1}^{t_2} \psi^2(t) \varphi '(t) dt= \pi\int\limits _{t_1}^{t_2} y^2 \dot x dt.$$ (2.7)

Ova formula vrijedi ukoliko je $dx=\dot x dt$ nenegativan - u protivnom integral treba pomnožiti s $-1$ , odnosno zamijeniti granice integracije.

Primjer 2.17   Volumen tijela koje nastaje rotiranjem jednog luka cikloide iz primjera 2.9 (slika 2.16) oko $x$ -osi jednak je

$$V =\pi \int\limits _0^{2\pi} a^2 (1-\cos t)^2 a (1-\cos t) dt$$

$$= a^3 \pi \int\limits _0^{2\pi}(1-3\cos t+3\cos^2 t-\cos^3 t) dt$$

$$= a^3 \pi \int\limits _0^{2\pi}(1+3\cos^2 t) dt.$$

Zadnja jednakost slijedi iz činjenice da je $$\int_0^{2\pi} \cos^{2n-1} t dt=0$$ za svaki $n\in\mathbb{N}$ . Dakle,

$$V= a^3 \pi \int\limits _0^{2\pi}\bigg(1+\frac{3}{2}(1+\cos 2 t... ...{2} t +\frac{3}{4}\sin 2 t \bigg) \bigg\vert _0^{2\pi}= 5 a^3 \pi^2.$$

Napomena 2.2   Kod računanja volumena rotacijskih tijela zadana krivulja može rotirati oko $y$ -osi, oko pomaknute osi, ili oko vertikalne asimptote. Na primjer, ako krivulja rotira oko osi $x=1$ izvrši se zamjena varijabli $t=x-1$ , a ako krivulja rotira oko vertikalne asimptote dobije se nepravi integral.

Zadatak 2.4   Izračunajte volumen kugle nastale rotacijom polukružnice $x=r\cos t$ , $y=r\sin t$ , $t\in[-\pi/2,\pi/2]$ , oko $y$ -osi. Uputa. U formuli (2.7) treba zamijeniti uloge varijabla $x$ i $y$ .

Krivulju zadanu u polarnim koordinatama,

$$r=r(\varphi ),\qquad \varphi \in[\varphi _1,\varphi _2],$$

prebacimo u parametarski oblik (2.5) pa uvrštavanje u formulu (2.7) daje

$$V=\pi \int\limits _{\varphi _1}^{\varphi ^2} r^2 (\sin\varphi )^2 [r' \cos \varphi -r \sin\varphi ] d\varphi .$$

Ova formula vrijedi ukoliko je $dx=[r'\cos \varphi -r\sin\varphi ] d\varphi$ nenegativan - u protivnom treba integral pomnožiti s $-1$ , odnosno zamijeniti granice integracije.

Primjer 2.18   Kugla polumjera $R$ sa središtem u ishodištu nastaje rotiranjem krivulje $r=R$ , $\varphi \in[0,\pi]$ , oko $x$ -osi. Volumen kugle jednak je

$$V =-\pi\int\limits _0^{\pi} R^2\sin^2\varphi (-R\sin\varphi ) d\varphi =R^3 \pi \int\limits _0^{\pi}(1-\cos^2\varphi )\sin\varphi d\varphi$$

$$=\big\{ \cos \varphi = t\big\} = -R^3 \pi \int\limits _{1}^{-1} (1-t^2) dt =\frac{4}{3} R^3 \pi.$$

Duljina luka ravninske krivulje     Primjene određenog integrala     Oplošje rotacijskog tijela