×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Primjene određenog integrala     Primjene određenog integrala     Duljina luka ravninske krivulje


Površina ravninskog lika

Površinu između krivulja $ y=f(x)$ i $ y=g(x)$ od točke $ a$ do točke $ b$ računamo kao beskonačnu (integralnu) sumu beskonačno malih elemenata površine (slika 2.12). Elementi površine su beskonačno mali pravokutnici s bazom $ dx$ i visinom $ f(x)-g(x)$ .

Slika: Površina ravninskog lika i element površine
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/povrsina,width=10.0cm}
\end{center}\end{figure}

Površina se računa formulom

$\displaystyle P=\int\limits _{[a,b]}  dP =\int\limits _a^b (f(x)-g(x))  dx.$ (2.1)

Primjer 2.6   Površina između krivulja $ y=x^2$ i $ y=\sqrt{x}$ dana je s (vidi sliku 2.13)

$\displaystyle P=\int\limits _0^1 (\sqrt{x}-x^2)  dx=\frac{2}{3}x^{3/2} -\frac{x^3}{3}
 \bigg\vert _0^1 =\frac{1}{3}.
$

Slika: Površina ravninskog lika I
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/povrsina1,width=7.6cm}
\end{center}\end{figure}

Kod računanja površina kao varijablu integracije možemo uzeti $ x$ ili $ y$ , ovisno o tome što je povoljnije.

Primjer 2.7   Izračunajmo površinu omeđenu krivuljama $ y^2=x$ i $ y=x-2$ (slika 2.14). Da bi odredili granice integracije prvo moramo naći sjecišta krivulja. Izjednačavanje daje $ y^2=y+2$ , odnosno krivulje se sijeku u točkama $ M=(1,-1)$ i $ N=(4,2)$ .

Ako za varijablu integracije odaberemo $ y$ , onda je $ y\in[-1,2]$ , gornja funkcija dana je s $ x=f(y)=y+2$ , a donja funkcija dana je s $ x=g(y)=y^2$ . Dakle,

$\displaystyle P=\int\limits _{-1}^2((y+2)-y^2)  dy =\frac{y^2}{2} + 2y -\frac{y^3}{3}
 \bigg\vert _{-1}^2 = \frac{9}{2}.
$

Ako za varijablu integracije odaberemo $ x$ , onda integral moramo rastaviti na dva dijela. U tom slučaju vrijedi

$\displaystyle P=\int\limits _0^1 (\sqrt{x}-(-\sqrt{x}))  dx+\int\limits _1^4 (\sqrt{x}-(x-2))  dx
=\cdots =\frac{9}{2}.
$

Slika: Površina ravninskog lika II
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/povrsina2,width=6.6cm}
\end{center}\end{figure}

Pomoću određenog integrala možemo izvesti dobro poznate formule za površinu elipse i kružnice.

Primjer 2.8   Neka je zadana elipsa

$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1.$ (2.2)

Zadana elipsa ima središte u točki $ S=(x_0,y_0)$ , a polu-osi su joj duge $ a$ i $ b$ (slika 2.15).

Slika: Površina elipse
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/elipsa,width=8.0cm}
\end{center}\end{figure}

Očito je $ x\in[x_0-a,x_0+a]$ , a gornja i donja funkcija dane su s

$\displaystyle f(x)=y_0+b  \sqrt{1-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}}, \qquad
g(x)=y_0-b  \sqrt{1-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}}.
$

Površina elipse dana je s

$\displaystyle P$ $\displaystyle =\int\limits _{x_0-a}^{x_0+a} \bigg[y_0+b  \sqrt{1-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}} -\bigg(y_0-b  \sqrt{1-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}}\bigg)  \bigg]   dx$    
  $\displaystyle =\int\limits _{x_0-a}^{x_0+a} 2 b  \sqrt{1-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}}  dx.$    

Trigonometrijska supstitucija iz poglavlja 1.7 daje

$\displaystyle P$ $\displaystyle = \bigg\{ \begin{aligned}\frac{x-x_0}{a}=\sin t, \quad t&=\arcsin...
...vert c\vert c} x& x_0-a & x_0+a \hline t & -\pi/2 & \pi/2 \end{array} \bigg\}$    
  $\displaystyle = 2 a b \int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{1-\sin^2 t} \cos t   dt= 2 a b \int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2} \vert\cos t\vert \cos t   dt.$    

Kako je na promatranom intervalu $ \cos t\geq 0$ , koristeći poznatu vezu između funkcija $ \cos^2 t$ i $ \cos 2 t$ imamo

$\displaystyle P$ $\displaystyle =2 a b \int\limits _{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2 t   dt =2 a b \in...
..., dt= a b  \bigg[ t+\frac{1}{2} \sin 2t \bigg]  \bigg\vert _{-\pi/2}^{\pi/2}$    
  $\displaystyle = a b  \pi.$    

Za $ a=b=r$ formula (2.2) prelazi u jednadžbu kružnice radijusa $ r$ s centrom u točki $ S=(x_0,y_0)$ ,

$\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2,
$

čija je površina jednaka $ P=r^2\pi$ .

Zadatak 2.3  
a)
Riješite primjer 2.8 pomoću supstitucije $ (x-x_0)/a=\cos t$ .
b)
Riješite primjer 2.8 integrirajući po varijabli $ y$ .




Parametarski zadana krivulja

Kod parametarski zadane krivulje

$\displaystyle x=\varphi (t),\qquad y=\psi(t), \qquad t\in [t_1,t_2],
$

računamo površinu između te krivulje i pravca $ y=c$ , $ c\in\mathbb{R}$ . Pri tome treba voditi računa o tome je li $ x=\varphi (t)$ rastuća ili padajuća funkcija i ovisno o tome postaviti integral, odnosno odabrati granice integriranja tako da je prirast $   dx=\dot \varphi   dt$ nenegativan.

Primjer 2.9   Izračunajmo površinu ispod jednog luka cikloide (slika 2.16),

$\displaystyle x=a(t-\sin t), \qquad y=a(1-\cos t), \qquad a>0, \quad t\in[0,2 \pi].
$

Slika: Površina ispod jednog luka cikloide
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/cikloida,width=9.6cm}
\end{center}\end{figure}

Tražena površina jednaka je

$\displaystyle P=\int\limits _0^{2\pi} [ a(1-\cos t)-0] \cdot a (1-\cos t)  dt=
a^2 \int\limits _0^{2\pi} (1-\cos t)^2  dt=3a^2\pi.
$

Formulu za površinu elipse iz primjera 2.8 možemo još jednostavnije izvesti pomoću parametarski zadane funkcije.

Primjer 2.10   Elipsa iz primjera 2.8 parametarski je zadana s

$\displaystyle x=x_0+a\cos t,\qquad y=y_0+b\sin t,\qquad t\in[0,2\pi].
$

Kada usporedimo ove formule s formulom (2.2) i slikom 2.15, vidimo da za $ t$ od 0 do $ \pi$ prirast $   dx$ pada. Međutim, da bismo mogli ispravno primijeniti formulu (2.1) $   dx$ mora rasti. Problem ćemo riješiti tako što ćemo izračunati površinu donje polovice elipse, od elipse do pravca $ y=y_0$ , u kojem slučaju $   dx$ raste kada $ t$ raste od $ \pi$ do $ 2\pi$ . Dakle,

$\displaystyle P$ $\displaystyle =2 \int\limits _{\pi}^{2\pi} [y_0-(y_0+b\sin t) ] \cdot a(-\sin t)  dt =2  a  b \int\limits _{\pi}^{2\pi} \sin^2 t  dt$    
  $\displaystyle = 2  a  b \int\limits _{\pi}^{2\pi}\frac{1}{2} (1-\cos 2t)  dt=a b \pi.$    




Krivulja zadana u polarnim koordinatama

U polarnom koordinatnom sustavu točka $ T=(x,y)$ zadaje se pomoću kuta $ \varphi $ kojeg polupravac koji izlazi iz ishodišta i prolazi točkom $ T$ zatvara s $ x$ -osi i udaljenošću $ r$ točke $ T$ od ishodišta (slika 2.17).

Slika 2.17: Polarni koordinatni sustav
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/polar,width=5.6cm}
\end{center}\end{figure}

Transformacije iz polarnog u Kartezijev koordinatni sustav vrše se prema formulama

$\displaystyle x$ $\displaystyle =r\cos \varphi ,$    
$\displaystyle y$ $\displaystyle =r\sin \varphi .$ (2.3)

Transformacije iz Kartezijevog u polarni koordinatni sustav vrše se prema formulama

$\displaystyle r$ $\displaystyle =\sqrt{x^2+y^2},$    
$\displaystyle \varphi$ $\displaystyle =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x},$    

pri čemu se kvadrant u kojem se nalazi kut $ \varphi $ odredi sa slike ili iz kombinacije predznaka od $ x$ i $ y$ . Vidimo da su gornje formule identične formulama za trigonometrijski oblik kompleksnog broja (vidi [*]M1, poglavlje 1.8.1).

Traženje površine likova zadanih u polarnom koordinatnom sustavu prikazano je na slici 2.18. U polarnom koordinatnom sustavu krivulju zadajemo formulom

$\displaystyle r=f(\varphi ), \qquad \varphi \in\mathcal{D}\subseteq\mathbb{R}.
$

Zbog prirode samog sustava obično tražimo površinu između krivulje $ r=f(\varphi )$ i zraka $ \varphi =\varphi _1$ i $ \varphi =\varphi _2$ . Shodno tome, element površine u polarnom koordinatnom sustavu je kružni isječak radijusa $ r$ s kutom $ d\varphi $ , odnosno

$\displaystyle dP=\frac{1}{2} r^2   d\varphi .
$

Kao i u Kartezijevim koordinatama površina je jednaka beskonačnoj (integralnoj) sumi beskonačno malih elemenata površine, odnosno

$\displaystyle P=\int\limits _{[\varphi _1,\varphi _2]} dP=\frac{1}{2}\int\limit...
... \frac{1}{2}\int\limits _{\varphi _1}^{\varphi _2} f^2(\varphi )   d\varphi .
$

Slika: Element površine u polarnim koordinatama
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/polarel,width=9.0cm}
\end{center}\end{figure}

U polarnom koordinatnom sustavu jednostavno se izvodi formulu za površinu kruga.

Primjer 2.11   Neka je zadana kružnica polumjera $ R$ sa središtem u točki $ T=(x_0,y_0)$ ,

$\displaystyle (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2.
$

Ako ishodište polarnog koordinatnog sustava postavimo u središte kružnice (slika 2.19), onda kružnica ima jednadžbu $ r=R$ (konstantna funkcija!), pa je

$\displaystyle P=\frac{1}{2} \int\limits _0^{2\pi} R^2   d\varphi = \frac{1}{2}  R^2  \varphi \
\bigg\vert _0^{2\pi} = R^2  \pi.
$

Slika: Površina kruga u polarnim koordinatama
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/polarkr,width=6.2cm}
\end{center}\end{figure}

Linearne funkcije u polarnim koordinatama su spirale.

Primjer 2.12   Izračunajmo površinu određenu prvim zavojem Arhimedove spirale (slika 2.20),

$\displaystyle r=a  \varphi , \qquad a>0,\qquad \varphi \geq 0.
$

Vrijedi

$\displaystyle P=\frac{1}{2} \int\limits _0^{2\pi} (a  \varphi )^2   d\varphi ...
..., a^2  \frac{\varphi ^3}{3}  \bigg\vert _0^{2\pi}
=\frac{4}{3} a^2  \pi^3.
$

Primijetimo da je tražena površina jednaka trećini površine kružnice radijusa $ 2  a  \pi$ .

Slika 2.20: Arhimedova spirala $ r=a\varphi $
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/arhimed,width=6.2cm}
\end{center}\end{figure}


Primjene određenog integrala     Primjene određenog integrala     Duljina luka ravninske krivulje