Površina dijela plohe u prostoru

Odredite površinu onog dijela ravnine

koji se nalazi u prvom oktantu projicirajući zadani dio ravnine na

- ravninu.

$\displaystyle P=\iint\limits_{D}\sqrt{1+\left( \frac{\partial z}{\partial x}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial z}{\partial y}\right) ^{2}} dx dy$ .

(4.3)

Ako želimo površinu računati preko projekcije na

ravninu, samo u (4.3) zamijenimo varijable

. Odnosno, površina dijela glatke plohe

iznad ograničenog područja

-ravnini dana je s

$\displaystyle P=\iint\limits_{D}\sqrt{1+\left( \frac{\partial x}{\partial y}\right) ^{2}+\left( \frac{\partial x}{\partial z}\right) ^{2}} dy dz$ .

Odsječak ravnine $\pi \dots 6x+3y+2z-12=0$ u prvom oktantu i njegova projekcija na

ravninu prikazani su na slici 4.9.

**Slika:** Odsječak ravnine $\pi \dots 6x+3y+2z-12=0$ u prvom oktantu i njegova projekcija na ravninu.
$\begin{figure}\centering \begin{tabular}{cc} \epsfig{file=sl25_dvostruki_inte... ...ig{file=sl26_dvostruki_integral1.eps,width=5cm} \end{tabular} \end{figure}$

$\displaystyle \sqrt{1+\left( \frac{\partial x}{\partial y}\right) ^{2}+\left( ... ...1+\left( -\frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( -\frac{1}{3}\right) ^{2}}=\frac{7}{6}$ ,

$\displaystyle P$	$\displaystyle =\iint\limits_{D}\sqrt{1+\left( \frac{\partial x}{\partial y}\rig... ...y dz=\int \limits_{0}^{4} dy\int\limits_{0}^{-\frac{3}{2}y+6}\frac{7}{6} dz$
	$\displaystyle =\int\limits_{0}^{4} \frac{7}{6}z\underset{0}{\overset{-\frac{3}... ...imits_{0}^{4} \frac{7}{6}\left[ \left( -\frac{3}{2} y+6\right) -0\right] dy$
	$\displaystyle =\int\limits_{0}^{4}\left( -\frac{7}{4}y+7\right) dy=\left( -\frac{7}{4} \frac{y^{2}}{2}+7y\right) \underset{0}{\overset{4}{\bigg\vert}}=14$ .