×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Volumen tijela, 1. primjer     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Površina dijela plohe u


Volumen tijela, 2. primjer

Izračunajte volumen tijela omeđenog površinama $ z=x^2+y^2$ , $ z=2(x^2+y^2)$ i ravninom $ z=4$ .

Rješenje.

Volumen tijela $ \Omega$ omeđenog plohama $ z=f(x,y)$ i $ z=g(x,y)$ iznad područja $ D$ , pri čemu je $ g(x,y)\leq f(x,y)$ , $ \forall (x,y)\in D$ , prema [*][M2, poglavlje 4.2.1], računa se po formuli

$\displaystyle \displaystyle V(\Omega) = \iint\limits_D \left[f(x,y)-g(x,y)\right]  dx  dy$.    

Na Slici 4.8 je prikazano tijelo čiji volumen želimo izračunati i njegova projekcija na $ xy$ ravninu.

Slika: Tijelo određeno s $ z\geq x^2+y^2$ , $ z\leq 2(x^2+y^2)$ i $ z\leq 4$ , te njegova projekcija na $ xy$ ravninu.
\begin{figure}\centering
\begin{tabular}{cc}
\epsfig{file=sl23_dvostruki_inte...
...g{file=sl24_dvostruki_integral.eps, width=5cm}
\end{tabular}
\end{figure}

Uvedimo polarne koordinate

  $\displaystyle x=r\cos\varphi$,    
  $\displaystyle y=r\sin\varphi$.    

Jednadžba kružnice $ x^2+y^2=4$ u novim koordinatama glasi $ r=2$ , a jednadžba kružnice $ x^2+y^2=2$ glasi $ r=\sqrt 2$ .

Volumen tijela omeđenog širim paraboloidom $ z=x^2+y^2$ i ravninom $ z=4$ jednak je

$\displaystyle V_{1}$ $\displaystyle =\iint\limits_{V_{xy}}\left( z_{ravnine}- z_{parabole}\right)
  dx dy=\iint\limits_{V_{xy}}\left( 4-x^{2}-y^{2}\right)
  dx dy$    
  $\displaystyle =\int\limits_{0}^{2\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{2}\left(
 4-r...
...rset{0}{\overset{2}{\bigg\vert}} d\varphi
 =\int\limits_{0}^{2\pi }4 d\varphi$    
  $\displaystyle =4\varphi \underset{0}{\overset{2\pi }{
 \bigg\vert}}=8\pi$   ,    

a volumen tijela omeđenog užim paraboloidom $ z=2(x^2+y^2)$ i ravninom $ z=4$ jednak je

$\displaystyle V_{2}$ $\displaystyle =\iint\limits_{V_{xy}}\left[ 4-2\left( x^{2}+y^{2}\right) \right]
  dx dy$    
  $\displaystyle =\int\limits_{0}^{2\pi } d\varphi \int\limits_{0}^{\sqrt{2}}\lef...
...{\overset{\sqrt{2}}{\bigg\vert}} d\varphi
 =\int\limits_{0}^{2\pi }2 d\varphi$    
  $\displaystyle =2\varphi \underset{0}{\overset{2\pi }{
 \bigg\vert}}=4\pi$   ,    

pa je traženi volumen $ V=V_{1}-V_{2}=8\pi -4\pi =4\pi$ .


Volumen tijela, 1. primjer     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Površina dijela plohe u