Lokalni ekstremi funkcija triju varijabla

Izračunajte lokalne ekstreme funkcije

$\displaystyle u(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy+x-2z$ .

Rješenje.

Funkcija triju varijabla je beskonačno puta diferencijabilna na $D=\mathbb{R}^3$ , a njene parcijalne derivacije prvog reda su , i . Rješavanjem sustava

$\displaystyle u_x$	$\displaystyle =2x-y+1=0$
$\displaystyle u_y$	$\displaystyle =2y-x=0$
$\displaystyle u_z$	$\displaystyle =2z-2=0$

dobivamo $x=-\frac{2}{3}$ , $y=-\frac{1}{3}$ i

, što znači da je u točki $T(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3},1)$ ispunjen nužan uvjet ekstrema

[M2, teorem 3.7] pa je

stacionarna točka funkcije

Provjerimo dovoljne uvjete za postojanje lokalnog ekstrema funkcije u točki . Izračunajmo najprije njene derivacije drugog reda.

$\displaystyle u_{xx}$	$\displaystyle =2 \hspace{0.3 cm}u_{xy}=-1\hspace{0.3 cm}u_{xz}=0$
$\displaystyle u_{yx}$	$\displaystyle =-1 \hspace{0.3 cm}u_{yy}=2\hspace{0.3 cm}u_{yz}=0$
$\displaystyle u_{zx}$	$\displaystyle =0 \hspace{0.3 cm}u_{zy}=0\hspace{0.3 cm}u_{zz}=2$