×   HOME
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika2
Primjena ekstrema, 1. primjer     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Lokalni ekstremi funkcija triju


Primjena ekstrema, 2. primjer

Odredite stranice kvadra zadanog volumena $ V$ koji ima najmanje oplošje.

Rješenje.

Označimo tražene duljine stranica sa $ a$ , $ b$ i $ c$ . Tada je volumen $ \displaystyle V=abc$ , i oplošje $ \displaystyle O=2(ab+ac+bc)$ . Ako s pomoću poznate vrijednosti volumena izrazimo npr. vrijednost duljine stranice $ a$ , dobivamo da je $ \displaystyle a=\frac{V}{bc}$ , pa oplošje možemo zapisati kao funkciju dviju varijabla, odnosno

$\displaystyle \displaystyle O=O(b,c)=2\left(\frac{V}{c}+\frac{V}{b}+bc\right)$ ,$\displaystyle \hspace{0.3cm}(b,c)\in\mathbb{R}^{+}\times\mathbb{R}^{+}$.    

Izračunajmo minimum funkcije $ O$ . Stacionarne točke zadovoljavaju sustav jednadžbi

$\displaystyle O_b=-\frac{2V}{b^2}+2c$ $\displaystyle =0$    
$\displaystyle O_c=-\frac{2V}{c^2}+2b$ $\displaystyle =0$    

Iz geometrijskih razloga jedina stacionarna točka $ \displaystyle (\sqrt[3]{V},\sqrt[3]{V})$ mora biti točka lokalnog i globalnog minimuma funkcije $ O$ . Dakle, kvadar sa stranicama $ \displaystyle a=b=c=\sqrt[3]{V}$ (kocka) zadovoljava uvjete zadatka.