×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Totalni diferencijal     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Parcijalne derivacije kompozicije funkcija

Tangencijalna ravnina

Ako je funkcija jedne varijable $f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ , $\mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}$ , derivabilna (dakle diferencijabilna) u točki $x_0$ , onda je pravac $t$ zadan jednadžbom

$$t \ldots y-y_0=f'(x_0)(x-x_0), y_0=f(x_0)$$

tangenta krivulje $y=f(x)$ u točki $(x_0,y_0)$ . Diferencijal $df(x_0)=f'(x_0)dx$ je prirast te tangente u promatranoj točki koji odgovara prirastu $dx\equiv\Delta x$ nezavisne varijable (vidi sliku 3.25).

Slika 3.25: Diferencijal funkcije jedne varijable

Slično možemo postupiti kad imamo funkciju dviju varijabla. Neka je $f:\mathcal{D}\to\mathbb{R}$ , $\mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^2$ . Ako je $f$ diferencijabilna u točki $(x_0,y_0)$ , onda postoje parcijalne derivacije $f'_x(x_0,y_0)$ i $f'_y(x_0,y_0)$ te možemo definirati dva pravca $t_x$ i $t_y$ u prostoru koji prolaze točkom $(x_0,y_0,z_0)$ , gdje je $z_0=f(x_0,y_0)$ :

$$t_x \cdots \frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{0} =\frac{z-z_0}{f'_x(x_0,y_0)},$$

$$t_y \cdots \frac{x-x_0}{0}=\frac{y-y_0}{1} =\frac{z-z_0}{f'_y(x_0,y_0)}.$$

Kad gledamo dvodimenzionalno, pravac $t_x$ možemo interpretirati kao tangentu na krivulju $z=f(x,y_0)$ u točki s koordinatama $(x_0,z_0)$ . Ovdje se sve nalazi u ravnini $y=y_0$ kao što se vidi na slici 3.26. Slično, pravac $t_y$ je tangenta na krivulju $z=f(x_0,y)$ u točki s koordinatama $(y_0,z_0)$ , pri čemu se sve nalazi u ravnini $x=x_0$ .

Pravci $t_x$ i $t_y$ imaju vektore smjerova

$${\mathbf{s}}_x ={\mathbf i}+f'_x(x_0,y_0) {\mathbf k},$$

$${\mathbf s}_y ={\mathbf j}+f'_y(x_0,y_0) {\mathbf k}$$

te određuju točno jednu ravninu koja prolazi točkom $(x_0,y_0,z_0)$ i ima vektor normale

$${\mathbf{n}}={\mathbf{s}}_x \times {\mathbf{s}}_y = \left\vert \b... ...\vert =-f'_x(x_0,y_0) {\mathbf i} -f'_y(x_0,y_0) {\mathbf j} +{\mathbf k}.$$

Prema tome,

$$z-z_0=f'_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)(y-y_0),\quad z_0=f(x_0,y_0).$$

je jednadžba tangencijalne ravnina na plohu $z=f(x,y)$ u točki $(x_0,y_0,z_0)$ . Diferencijal

$$df(x_0,y_0)=f'_x(x_0,y_0)dx+f'_y(x_0,y_0)dy$$

možemo interpretirati kao prirast varijable $z$ u tangencijalnoj ravnini koji odgovara prirastima $dx$ i $dy$ nezavisnih varijabli.

Primjer 3.11   Zadan je paraboloid $z=-2(x-1)^2-y^2$ , koji je diferencijabilan u svakoj točki $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ . U točki $(x_0,y_0)=\big(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\big)$ je $z_0=-\frac{3}{4}$ pa je

$$t_x \cdots \frac{x-\frac{3}{2}}{1}=\frac{y+\frac{1}{2}}{0} =\frac{z+\frac{3}{4}}{-2},$$

$$t_y \cdots \frac{x-\frac{3}{2}}{0}=\frac{y+\frac{1}{2}}{1} =\frac{z+\frac{3}{4}}{1}.$$

Dakle, u zadanoj točki normala je jednaka

$${\mathbf{n}}= \left\vert \begin{matrix} {\mathbf i} & {\mathbf j... ...1 & 1 \end{matrix}\right\vert =2 {\mathbf i} -1 {\mathbf j} +{\mathbf k},$$

a jednadžba tangencijalne ravnine glasi (vidi sliku 3.26)

$$R_t \ldots z=-\frac{3}{4}-2 \bigg(x-\frac{3}{2}\bigg)+1 \bigg(y+\frac{1}{2}\bigg).$$

Slika 3.26: Tangencijalna ravnina paraboloida

Napomena 3.4   Iz prethodnog izlaganja je jasno da ravninu $R_t$ možemo definirati čim je funkcija $f$ derivabilna u točki $(x_0,y_0)$ . Međutim, ravninu $R_t$ ima smisla zvati tangencijalnom ravninom plohe $z=f(x,y)$ u točki $(x_0,y_0,z_0)$ , samo onda kada je $f$ diferencijabilna u točki $(x_0,y_0)$ . Naime, tada svaki pravac u ravnini $R_t$ kroz točku $(x_0,y_0,z_0)$ , a ne samo pravce $t_x$ i $t_y$ , možemo promatrati kao tangentu na plohu $z=f(x,y)$ u točki $(x_0,y_0,z_0)$ . Bilo koji pravac u ravnini $R_t$ kroz točku $(x_0,y_0,z_0)$ različit od $t_x$ može se dobiti kao presjek ravnine $R_t$ i ravnine paralelne sa $Oz$ osi $y-y_0=c(x-x_0)$ , gdje je $c\in\mathbb{R}$ dana konstanta. Taj pravac ima jednadžbu

$$t_c \cdots \frac{x-x_0}{1}=\frac{y-y_0}{c} =\frac{z-z_0}{f'_x(x_0,y_0)+cf'_y(x_0,y_0)}.$$

S druge strane, presjek plohe $z=f(x,y)$ i ravnine $y-y_0=c(x-x_0)$ možemo promatrati kao graf funkcije jedne varijable

$$x\mapsto z=g_c(x)=f(x,y_0+c(x-x_0)),$$

pri čemu se sve nalazi u ravnini $y-y_0=c(x-x_0)$ . Nije teško vidjeti da je zbog diferencijabilnosti funkcije $f$ u točki $(x_0,y_0)$ funkcija $g_c$ derivabilna u točki $x_0$ s derivacijom $g'_c(x_0)=f'_x(x_0,y_0)+cf'_y(x_0,y_0)$ te da je tangenta na krivulju $z=g_c(x)$ u $x_0$ upravo pravac $t_c$ . Zato pravac $t_c$ promatramo i kao tangentu na plohu $z=f(x,y)$ u točki $(x_0,y_0,z_0)$ .

Primjer 3.12   Za funkciju $f$ iz primjera 3.10 u točki $(0,0)$ pravci $t_x$ , $t_y$ i ravnina $R_t$ imaju jednadžbe

$$t_x \ldots \frac{x}{1} =\frac{y}{0}=\frac{z}{0},$$

$$t_y \ldots \frac{x}{0} =\frac{y}{1}=\frac{z}{0},$$

$$R_t \ldots z =0,$$

ali nijedan drugi pravac u ravnini $z=0$ , osim pravaca $t_x$ i $t_y$ , nije tangenta plohe $z=f(x,y)$ u točki $(0,0)$ (vidi Sliku 3.22). Naime, za dani $c\in\mathbb{R}$ pravac $t_c$ u ravnini $R_t$ ima jednadžbu

$$t_c \cdots \frac{x}{1}=\frac{y}{c}=\frac{z}{0},$$

a za funkciju $g_c$ dobijamo

$$g_c(x)=\left\{ \begin{array}{cr} \frac{cx}{1+c^2}, &\textrm{za } x\neq 0,\\ 0, &\textrm{za } x=0 \end{array}\right.$$

i očito je za $c\neq 0$

$$g'_c(0)=\frac{c}{1+c^2}\neq f'_x(0,0)+cf'_y(0,0)=0.$$

Zadatak 3.7  

a)

Odredi jednadžbu tangencijalne ravnine na plohu $z=f(x,y)$ u točki $(0,0)$ ako je $f$ funkcija iz primjera 3.7.

b)

Ispitaj neprekidnost, derivabilnost i diferencijabilnost funkcije

$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cr}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&\textrm{za }(x,y)\neq(0,0),\\ 0,&\textrm{za }(x,y)=(0,0)\end{array}\right.$$

u točki $(0,0)$ .

c)

Odredi jednadžbu tangencijalne ravnine na plohu

$$z=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{x+y}{1+xy}$$

u točki $(0,0)$ .

Za crtanje ploha i normala na plohe možete koristiti java aplet.

Totalni diferencijal     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Parcijalne derivacije kompozicije funkcija