×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Parcijalne derivacije     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Tangencijalna ravnina


Totalni diferencijal

Neka je zadana funkcija $ f$ i točke

$\displaystyle T_0=(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0)\in\mathcal{D}, \qquad
T=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathcal{D}.
$

Uvedimo oznake

$\displaystyle u=f(T),\quad u_0=f(T_0),\qquad \Delta u=u-u_0.
$

Prirast $ \Delta x_i=x_i-x_i^0$ još nazivamo i diferencijalom nezavisne varijable $ x_i$ i označavamo s $ dx_i$ .

Parcijalni diferencijal funkcije $ f$ u točki $ T_0$ s obzirom na varijablu $ x_i$ definiramo kao diferencijal funkcije jedne varijable $ f_i$ definirane relacijom (3.1):

$\displaystyle d_{x_i}f(T_0)\equiv d_{x_i}(u_0)=df_i(x_i^0)=f'_i(x_i^0)dx_i=f'_{x_i}(T_0)dx_i=\frac{\partial
f(T_0)}{\partial x_i}dx_i.
$

Definicija 3.9   Neka je funkcija $ f$ derivabilna u točki $ T_0$ i neka je

$\displaystyle \rho =d(T_0,T)=\sqrt{(\Delta x_i)^2+\cdots+(\Delta x_n)^2}.
$

Ako je

$\displaystyle \Delta u=f'_{x_1}(T_0)\Delta x_1+\cdots+f'_{x_n}(T_0)\Delta x_n+
\rho\alpha(\rho)
$

gdje je $ \alpha:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ funkcija za koju vrijedi

$\displaystyle \lim_{\rho\to 0}\alpha(\rho)=0,
$

onda je funkcija $ f$ diferencijabilna u točki $ T_0$ , a funkcija

$\displaystyle df(T_0)=f'_{x_1}(T_0)dx_1+\cdots+f'_{x_n}(T_0)dx_n
$

je totalni diferencijal (ili kraće diferencijal) funkcije $ f$ u točki $ T_0$ . Ako je $ f$ diferencijabilna u svakoj točki $ T\in \mathcal{D}$ , onda je $ f$ diferencijabilna funkcija.

Napomena 3.3  
1.
Iz definicije 3.9 vidimo da za malene vrijednosti prirasta $ \Delta x_i$ , $ i=1,\cdots,n$ , prirast $ \Delta u$ možemo aproksimirati diferencijalom $ df(T_0)$ ,
2.
Iz same definicije diferencijabilnosti slijedi da je diferencijabilnost jače svojstvo od derivabilnosti: ako je funkcija $ f$ diferencijabilna, onda je $ f$ i derivabilna, dok obratno ne mora vrijediti.
3.
Funkcija $ f$ može biti derivabilna u točki $ T_0$ , a da u toj točki nije neprekidna (vidi primjer 3.9), dočim funkcija $ f$ koja je diferencijabilna u toćki $ T_0$ , nužno mora biti neprekidna u toj točki. Naime, $ T\to T_0$ onda i samo onda kad $ \Delta x_i\to 0$ za sve $ i=1,\cdots,n$ , odnosno onda i samo onda kad $ \rho=d(T_0,T)\to 0$ . Zato imamo

$\displaystyle \lim_{T\to T_0}\Delta u$ $\displaystyle =\lim_ {{\scriptstyle\Delta x_i\to 0 \atop \scriptstyle i=1,\cdots,m}}\Delta u$    
  $\displaystyle =\lim_{{\scriptstyle\Delta x_i\to 0 \atop \scriptstyle i=1,\cdots...
...lta x_1+\cdots+f'_{x_m}(T_0)\Delta x_m\right] +\lim_{\rho\to 0}\rho\alpha(\rho)$    
  $\displaystyle =0.$    

Međutim,

$\displaystyle \lim_{T\to T_0} \Delta u=0
$

je ekvivalentno s

$\displaystyle \lim_{T\to T_0}f(T)=f(T_0),
$

odnosno s neprekidnošću funkcije $ f$ u točki $ T_0$ .

Primjer 3.10   Funkcija

\begin{displaymath}
f(x,y)=\left\{
\begin{array}{cr}
\displaystyle\frac{x^2y}{x^...
...\neq (0,0),\\
0, &\textrm{za }(x,y)=(0,0),
\end{array}\right.
\end{displaymath}

je neprekidna na $ \mathcal{D}=\mathbb{R}^2$ (vidi primjer 3.4 i sliku 3.22). Također,

$\displaystyle f'_x(0,0)$ $\displaystyle =\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0,$    
$\displaystyle f'_y(0,0)$ $\displaystyle =\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=\lim_{y\to 0}\frac{0-0}{y}=0,$    

što znači da je $ f$ derivabilna u točki $ (0,0)$ . Međutim $ f$ nije diferencijabilna u točki $ (0,0)$ . Naime, vrijedi

$\displaystyle \Delta x=x-0=x, \qquad \Delta y=y-0=y,
$

odnosno,

$\displaystyle \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{x^2+y^2}
\quad \to\quad 0\qquad \Leftrightarrow\qquad x\to 0, y\to 0.
$

Zato je

$\displaystyle \lim_{\rho\to 0}\alpha(\rho)$ $\displaystyle =\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta f(0,0) -[f'_x(0,0)dx+f'_y(0,0)dy]}{\rho}$    
  $\displaystyle =\lim_{\rho\to 0}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\rho}$    
  $\displaystyle =\lim_{x\to 0,y\to 0} \frac{x^2y}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}$    

Za nizove točaka $ ((1/n,c/n), n\in \mathbb{N})$ koji konvergiraju u $ (0,0)$ za sve $ c\in\mathbb{R}$ imamo

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2}\cdot\frac{c}{n}}{\left(\frac...
...\lim_{n\to\infty}\frac{c}{(1+c^2)^\frac{3}{2}}
=\frac{c}{(1+c^2)^\frac{3}{2}},
$

što je zavisno od $ c$ pa zaključujemo da $ \displaystyle \lim_{\rho\to 0}\alpha(\rho)$ ne postoji i zato $ f$ nije diferencijabilna u točki $ (0,0)$ .

Funkcija $ f$ iz prethodnog primjera je u točki $ (0,0)$ neprekidna i derivabilna, ali nije diferencijabilna. Parcijalne derivacije $ f'_x$ i $ f'_y$ nisu neprekidne u toj točki. Analizu ovakvih slučajeva nam olakšava sljedeći teorem kojega navodimo bez dokaza:

Teorem 3.4   Ako postoji okolina $ K(T,\delta)$ točke $ T$ takva da je $ f$ derivabilna na $ K(T,\delta)$ , te ako su sve parcijalne derivacije $ f'_{x_i}$ , $ i=1,\cdots,n$ neprekidne u točki $ T$ , onda je funkcija $ f$ diferencijabilna u točki $ T$ .

Iz svega dosad rečenog vidimo da postoji bitna razlika između funkcija jedne varijable i funkcija više varijabla. Naime, za funkciju jedne varijable vrijedi

i.
$ f$ je derivabilna u točki $ x$      $ \Leftrightarrow$      $ f$ je diferencijabilna u točki $ x$ ,
ii.
$ f$ je derivabilna (diferencijabilna) u točki $ x$      $ \Rightarrow$      $ f$ je neprekidna u točki $ x$ ,
dočim za funkciju $ f$ od $ n>1$ varijabla vrijede sljedeće implikacije:
i.
$ f$ je diferencijabilna u točki $ T$      $ \Rightarrow$      $ f$ je derivabilna u točki $ T$ ,
ii.
$ f$ je neprekidno derivabilna u točki $ T$      $ \Rightarrow$      $ f$ je diferencijabilna u točki $ T$ ,
iii.
$ f$ je diferencijabilna u točki $ T$      $ \Rightarrow$      $ f$ je neprekidna u točki $ T$ .


Parcijalne derivacije     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Tangencijalna ravnina