×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Opće rješenje diferencijalne jednadžbe     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Snižavanje reda diferencijalne jednadžbe,


Snižavanje reda diferencijalne jednadžbe, 1. primjer

Ako se u diferencijalnoj jednadžbi drugog reda, kojoj je opći oblik $ \displaystyle y^{\prime \prime}=f(x,y,y^{\prime})$ , ne pojavljuje eksplicitno jedna od varijabli $ x$ , $ y$ ili $ y^{\prime }$ , onda kažemo da je diferencijalna jednadžba nepotpuna te ju možemo riješiti snižavanjem (reduciranjem) reda.

Odredite partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe $ \displaystyle y^{\prime \prime}=xe^{-x}$ uz početne uvjete $ \displaystyle y(0)=1$ , $ \displaystyle y^{\prime}(0)=0$ .

Rješenje.

Ova diferencijalna jednadžba drugog reda ima oblik $ \displaystyle y^{\prime \prime}=f(x)$ pa njeno opće rješenje dobivamo uzastopnim integriranjem zadane jednadžbe.

Integriranje po varijabli $ x$ daje

$\displaystyle y^{\prime}(x)=-xe^{-x}-e^{-x}+C_1.$    

Uvrštavanje zadanog uvjeta $ \displaystyle y^{\prime}(0)=0$ daje $ \displaystyle C_1=1$ . Prethodnu jednakost integriramo još jednom i dobivamo

$\displaystyle y(x)=(x+2)e^{-x}+C_1\cdot x+C_2.$    

Uvrštavanje uvjeta $ \displaystyle y(0)=1$ daje $ \displaystyle C_2=-1$ .

Dakle, partikularno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe, uz zadane početne uvjete, je $ \displaystyle y(x)=(x+2)e^{-x}+x-1$ .