×   HOME
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika2
Ekstremi na zatvorenom području,     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Primjena vezanog ekstrema, 1.


Problem vezanog ekstrema

Odredite ekstreme funkcije

$\displaystyle f(x,y)=x+2y$    

uz uvjet $ x^2+y^2=5$ .

Rješenje.

Dio plohe $ \displaystyle z=x+2y$ uz uvjet $ x^2+y^2=5$ prikazan je na Slici 3.12.

Slika 3.12: Dio plohe $ \displaystyle z=x+2y$ uz uvjet $ x^2+y^2=5$ .
\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl12_ekstremi.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}
Rješavamo problem vezanog ekstrema

\begin{displaymath} \begin{cases} f(x,y)=x+2y\to \min,\max &\text{}\\ \varphi (x,y)=x^2+y^2-5=0&\text{} \end{cases} \end{displaymath}

Pridružena Lagrangeova funkcija ( [*][M2, poglavlje 3.12]) je

$\displaystyle L(x,y,\lambda )=x+2y+\lambda (x^2+y^2-5)$,    

a nuždan uvjet ekstrema glasi

$\displaystyle L'_x$ $\displaystyle =1+2\lambda x=0$,    
$\displaystyle L'_y$ $\displaystyle =2+2\lambda y=0$,    
$\displaystyle L'_{\lambda}$ $\displaystyle =x^2+y^2-5=0$.    

Iz prve dvije jednadžbe dobijemo $ \displaystyle x=-\frac{1}{2\lambda}$ i $ \displaystyle y=-\frac{1}{\lambda}$ . Uvrštavanjem u treću jednadžbu dobijemo

$\displaystyle \frac{1}{4\lambda ^2}+\frac{1}{\lambda ^2}-5=0\quad\Rightarrow\quad \lambda_1=\frac{1}{2}$,$\displaystyle \quad \lambda_2=-\frac{1}{2}$.    

Dakle, nuždan uvjet zadovoljavaju točke $ T_1(-1,-2)$ i $ T_2(1,2)$ . Budući da je

$\displaystyle \delta (T)=\begin{vmatrix}L''_{xx} & L''_{xy} L''_{xy} & L''_... ...d{vmatrix}=\begin{vmatrix}2\lambda & 0 0 & 2\lambda\end{vmatrix}=4\lambda^2$,    

uvrštavanjem odgovarajuće vrijednosti od $ \lambda$ za točke $ T_1$ i $ T_2$ dobije se $ \delta (T_1)=\delta (T_2)=1>0$ , pa zaključujemo da u obje točke funkcija $ f$ ima vezani ekstrem, i to lokalni minimum u $ T_1$ jer je $ L''_{xx}(T_1)=1>0$ i lokalni maksimum u $ T_2$ jer je $ L''_{xx}(T_2)=-1<0$ .

Ekstremi na zatvorenom području,     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Primjena vezanog ekstrema, 1.