×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Parcijalna derivacija prvog reda     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Parcijalna derivacija trećeg reda


Parcijalna derivacija drugog reda

Odredite parcijalne derivacije drugog reda za funkcije:

a)
$ \displaystyle f(x,y)=x^y$ ,
b)
$ \displaystyle f(x,y)=(1+x)^m (1+y)^n$ u točki $ T(0,0)$ ( $ m,n\in\mathbb{N}$ ).

Rješenje.

a)
Odredimo najprije parcijalne derivacije prvog reda zadane funkcije. Vrijedi

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right)=yx^{y-1}$ i  $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right)=x^y\ln x.$    

Sada je prema [*][M2, definicija 3.8]

$\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}\left( x,y\right)$ $\displaystyle = \frac{\partial }{\partial x}\left(yx^{y-1}\right)=y(y-1)x^{y-2},$    
$\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right)$ $\displaystyle = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^y\ln x\right)=yx^{y-1}\ln x+x^{y-1},$    
$\displaystyle \frac{\partial ^2f}{\partial y^2}\left( x,y\right)$ $\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(x^y\ln x\right)=x^y(\ln x)^2.$    

b)
Parcijalne derivacije prvog reda funkcije $ f$ u proizvoljnoj točki $ \displaystyle \left( x,y\right)\in\mathcal{D}_f$ glase:

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\left( x,y\right)$ $\displaystyle = m(1+x)^{m-1}(1+y)^n,$    
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}\left( x,y\right)$ $\displaystyle = n(1+x)^m(1+y)^{n-1}.$    

Parcijalne derivacije drugog reda funkcije $ f$ u proizvoljnoj točki $ \displaystyle \left( x,y\right)\in\mathcal{D}_f$ su:

$\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}\left( x,y\right)$ $\displaystyle = m(m-1)(1+x)^{m-2}(1+y)^n,$    
$\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x\partial y}\left( x,y\right)$ $\displaystyle = mn(1+x)^{m-1}(1+y)^{n-1},$    
$\displaystyle \frac{\partial ^2f}{\partial y^2}\left( x,y\right)$ $\displaystyle = n(n-1)(1+x)^m(1+y)^{n-2}.$    

Prema tome, vrijednosti parcijalnih derivacija drugog reda funkcije $ f$ u točki $ T(0,0)$ su:

$\displaystyle \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(0,0)=m(m-1), \quad 
 \frac{\pa...
...ial x\partial y}(0,0)=mn, \quad
 \frac{\partial ^2f}{\partial y^2}(0,0)=n(n-1).$    


Parcijalna derivacija prvog reda     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Parcijalna derivacija trećeg reda