×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 QR rastav vektora i     METODA NAJMANJIH KVADRATA I     Zadaci za vježbu

Rješavanje problema najmanjih kvadrata pomoću QR rastava

Metodom najmanjih kvadrata pomoću QR rastava riješite sustav $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ , gdje je

$$A= \begin{bmatrix} 2 & 0 0& 0 2 & 2 1 & 2 \end{bmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{bmatrix} 1 1 1 1 \end{bmatrix}$$

Rješenje.

Pronađimo najprije QR rastav matrice $A$ . Stupac $\mathbf{a}_1=\begin{bmatrix}2 & 0 & 2 & 1\end{bmatrix}^T$ trebamo zarotirati u vektor $\mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}-3 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}^T$ jer je $\Vert \mathbf{a}_1\Vert=3$ . Vrijedi

$$\mathbf{v}_1 =\mathbf{a}_1-\mathbf{b}_1=\begin{bmatrix}5 & 0 & 2 & 1\end{bmatrix}^T,$$

$$\displaystyle Q_1 =H_1=I - \frac{2}{\mathbf{v}_1^T \mathbf{v}_1}\mathbf{v}_1 \mathb... ... 0 & 15 & 0 & 0 -10 & 0 & 11 & -2 -5 & 0 & -2 & 14 \end{bmatrix},$$

$$Q_1 A = \left[ \begin{array}{c\vert c} -3 & \begin{array}{cc} \times \... ...gin{bmatrix}-3& -2 0 & 0 0 & \frac{6}{5} 0 & \frac{8}{5}\end{bmatrix}.$$

Sada pronađimo Householderov reflektor $H_2$ pridružen vektoru $\mathbf{a}_2=\begin{bmatrix}0 \frac{6}{5} \\ \frac{8}{5} \end{bmatrix}$ . Norma vektora $\mathbf{a}_2$ je $\left\Vert\mathbf{a}_2\right\Vert _2=2$ , što znači da vektor $\mathbf{a}_2$ treba zarotirati u $\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}-2 0 0 \end{bmatrix}$ . Dakle,

$$\mathbf{v}_2=\mathbf{a}_2-\mathbf{b}_2=\begin{bmatrix}2 \frac{6}{5} \frac{8}{5} \end{bmatrix}$$    i  $$H_2=I - \frac{2}{\mathbf{v}_2^T \mathbf{v}_2}\mathbf{v}_2 \mathbf... ...\begin{bmatrix}0 & -15 & -20 -15 & 16 & -12 -20 & -12 & 9 \end{bmatrix}.$$

Stavimo

$$Q_2=\begin{bmatrix}1 & & H_2 \end{bmatrix}=\frac{1}{25} \beg... ...0 & -15 & -20 \\ 0 & -15 & 16 & -12 \\ 0 & -20 & -12 & 9 \end{bmatrix}.$$

Sada je

$$Q_2 Q_1 A = \begin{bmatrix} -3& -2 \\ 0 & -2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}=R.$$

Matrica $Q$ je jednaka

$$Q=Q_1 Q_2 = \frac{1}{15} \begin{bmatrix} -10 & 10 & -4 & 3 \\ 0 & 0 & -9 & -12 \\ -10 & -5 & 8 & -6 \\ -5 & -10 & -8 & 6 \end{bmatrix}$$

pa QR rastav matrice $A$ glasi

$$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0& 0\\ 2 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatr... ...} \begin{bmatrix} -3& -2 \\ 0 & -2 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

Riješimo sada sustav $Ax=b$ . Zamijenimo li $A$ s $QR$ , zbog ortogonalnosti matrice $Q$ vrijedi

$$QRx=b,$$

odnosno

$$Rx=Q^Tb.$$

Prema [M2, poglavlje 6.2.4], dovoljno je riješiti sustav

$$R_0x=Q_0^Tb,$$

gdje je

$$R_0=\begin{bmatrix} -3& -2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix},\quad Q_0... ...in{bmatrix} -10 & 10 \\ 0 & 0 & \\ -10 & -5 \\ -5 & -10 \end{bmatrix}.$$

Vrijedi

$$Q_0^Tb=\frac{1}{15} \begin{bmatrix} -10 & 0 & -10 & -5 \\ 10... ... \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{5}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{bmatrix}$$

pa je rješenje sustava

$$\begin{bmatrix} -3& -2 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} -\frac{5}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{bmatrix},$$

a time ujedno i rješenje polaznog sustava u smislu najmanjih kvadrata

$$\mathbf{x}= \begin{bmatrix} \frac{1}{6} \\ \frac{4}{9} \end{bmatrix}.$$

QR rastav vektora i     METODA NAJMANJIH KVADRATA I     Zadaci za vježbu