×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Singularna rješenja i ovojnice     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Linearne diferencijalne jednadžbe prvog


Egzaktne jednadžbe i integrirajući faktori

Diferencijalna jednadžba oblika

$\displaystyle P(x,y)  dx+Q(x,y)  dy=0
$ (5.4)

je egzaktna ako je

$\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$ (5.5)

U tom slučaju postoji funkcija $ F(x,y)$ takva da je

$\displaystyle dF(x,y)=P(x,y)  dx+ Q(x,y)  dy$ (5.6)

pa je rješenje jednadžbe dano s

$\displaystyle F(x,y)=C.
$

Opišimo postupak nalaženja funkcije $ F$ . Ukoliko navedena funkcija $ F$ postoji, onda je $ \partial F/ \partial x=P$ , odnosno

$\displaystyle F(x,y)=\int P(x,y)  dx+\varphi (y),
$

pri čemu je $ \varphi (y)$ neka funkcija od $ y$ . Nadalje,

$\displaystyle \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y} \int P(x,y)  dx+
\varphi '(y)=Q(x,y)
$

pa je

$\displaystyle \varphi '(y)=Q(x,y)-\frac{\partial}{\partial y} \int P(x,y)  dx.
$

Izraz na desnoj strani prethodne jednakosti je funkcija od $ y$ jer uvjet (5.5) povlači

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left[Q(x,y)-\frac{\partial}{\partial y} \int P(x,y)  dx\right]$ $\displaystyle = \frac{\partial}{\partial x}Q(x,y) - \frac{\partial^2}{ \partial x\partial y}\int P(x,y)  dx$    
  $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial x}Q(x,y) - \frac{\partial}{\partial y} P(x,y)= 0.$    

Dakle,

$\displaystyle \varphi (y)=\int \left[ Q(x,y)  dy- \frac{\partial}{\partial y} \int P(x,y)  dx\right]
  dy
$

pa je konačno

$\displaystyle F(x,y)=\int P(x,y)  dx+\int \left[ Q(x,y)  dy- \frac{\partial}{\partial y}
\int P(x,y)  dx\right]   dy.
$

Kako je

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}F(x,y)$ $\displaystyle =P(x,y),$    
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}F(x,y)$ $\displaystyle =\frac{\partial}{\partial y} \int P(x,y)  dx+ Q(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y)  dx= Q(x,y),$    

funkcija $ F$ zaista zadovoljava jednakost (5.6).

Primjer 5.16   Diferencijalna jednadžba

$\displaystyle (2x+2y^2)  dx+ (4xy+3y^2)  dy=0
$

je egzaktna jer je

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y} (2x+2y^2)=4y=\frac{\partial}{\partial
x}(4xy+3y^2).
$

Vrijedi

$\displaystyle F(x,y)=\int (2x+2y^2)  dx+ \varphi (y)= x^2+2xy^2 +\varphi (y).
$

Dalje je

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}F(x,y)=4xy+\varphi '(y)=4xy+3y^2
$

pa je $ \varphi '(y)=3y^2$ , odnosno $ \varphi (y)=y^3$ . Stoga je rješenje zadane jednadžbe

$\displaystyle x^2+2xy^2 +y^3=C.
$

Zadatak 5.10   Riješite diferencijalne jednadžbe:
a)
$ y' (4xy+3y^2) + 2x+2y^2+1=0$ , uz uvjet $ y(0)=-1$ ,
b)
$ \left(x+e^{x/y}\right)  dx+ \left(1-\displaystyle \frac{x}{y}\right)  e^{x/y}   dy
=0$ ,
c)
$ y'=\displaystyle \frac{\sin y}{x\cos y}$ , uz uvjet $ y(1)=\pi/4$ .

Za neke jednadžbe oblika (5.4) koje nisu egzaktne, postoji funkcija $ \mu(x,y)$ takva da je jednadžba

$\displaystyle \mu(x,y) P(x,y)  dx+ \mu(x,y) Q(x,y)  dy= 0$ (5.7)

egzaktna. U tom slučaju, umjesto zadane jednadžbe (5.4), možemo riješiti novu jednadžbu. Funkcija $ \mu$ je integrirajući faktor ili Eulerov multiplikator. Ako je jednadžba (5.7) egzaktna, onda je $ (\mu  P)'_y=(\mu Q)'_x$ pa je

$\displaystyle \mu'_y P +\mu P'_y=\mu'_x Q+\mu Q'_x,
$

odnosno

$\displaystyle \mu'_y P- \mu'_x Q=\mu(Q'_x-P'_y).
$

Ovo je parcijalna diferencijalna jednadžba koja može biti i složenija od polaznog problema. Stoga nalaženje integrirajućeg faktora općenito nije jednostavno. No, kada je integrirajući faktor funkcija samo jedne varijable ($ x$ ili $ y$ ), tada je postupak sljedeći: ako je $ \mu=\mu(x)$ , onda je $ \mu'_y=0$ pa je

$\displaystyle -\mu'_xQ=\mu(Q'_x-P'_y),
$

odnosno

$\displaystyle \frac{d\mu}{\mu}=\frac{P'_y-Q'_x}{Q}  dx.
$

Dakle, $ \mu=\mu(x)$ možemo naći ukoliko je kvocijent na desnoj strani funkcija od $ x$ . Slično, ako je $ \mu=\mu(y)$ , onda je $ \mu'_x=0$ pa je

$\displaystyle \frac{d\mu}{\mu}=\frac{Q'_x-P'_y}{P}  dy,
$

ukoliko je kvocijent na desnoj strani funkcija od $ y$ .

Primjer 5.17   Riješimo jednadžbu

$\displaystyle (x^2-y^2)   dx+2xy  dy=0.
$

Kako je $ P=x^2-y^2$ i $ Q=2xy$ te $ P'_y=-2y$ i $ Q'_x=2y$ , jednadžba nije egzaktna. Iz

$\displaystyle \frac{P'_y-Q'_x}{Q} = -\frac{4y}{2xy}=-\frac{2}{x}
$

zaključujemo da je $ \mu=\mu(x)$ . Imamo

$\displaystyle \frac{d\mu}{\mu}$ $\displaystyle =-\frac{2}{x}  dx,$    
$\displaystyle \ln\vert\mu\vert$ $\displaystyle = \ln\vert x\vert^{-2} +\ln C,$    
$\displaystyle \mu$ $\displaystyle = \frac{C}{x^2}.$    

Možemo uzeti bilo koji integrirajući faktor pa odaberimo $ C=1$ , odnosno $ \mu=1/x^2$ . Množenje polazne jednadžbe s integrirajućim faktorom daje egzaktnu diferencijalnu jednadžbu (provjerite)

$\displaystyle \frac{x^2-y^2}{x^2}  dx+\frac{2y}{x}  dy=0.
$

Postupak opisan na početku poglavlja daje:

$\displaystyle F(x,y)$ $\displaystyle =\int\left(1-\frac{y^2}{x^2}\right)  dx+\varphi (y)=x+\frac{y^2}{x}+\varphi (y),$    
$\displaystyle F'_y(x,y)$ $\displaystyle =\frac{2y}{x}+\varphi '(y)=\frac{2y}{x}.$    

Dakle,

$\displaystyle \varphi '(y)=0,\qquad \varphi (y)=C
$

pa je rješenje zadane jednadžbe dano s

$\displaystyle x+\frac{y^2}{x}=C.
$

Zadatak 5.11   Riješite diferencijalne jednadžbe:
a)
$ y+(y^2-x)  y'=0$ ,
b)
$ (x+y^3)  dy-y  dx=0$ , uz uvjet $ y(1)=1$ ,
c)
$ (6x^3y+3y^2)  dx+ (2x^4+6xy\ln x)  dy=0$ .


Singularna rješenja i ovojnice     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Linearne diferencijalne jednadžbe prvog